電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = −8 − j2 の偏角 θ を、−180° から 180° の間の主値として、度で求めてください。

z = −8 − j2

θ = °

2.複素数むずかしい

z³ − 6z² + 13z − 10 = 0 の解の 1 つは z₁ = 2 + j です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = 2 + j

r =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF

P = W

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 100 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.85 で 4 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 4 kWpf = 0.85V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.75 で 18 kW を消費する。100 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。

P = 18 kWpf₁ = 0.75V = 400 Vf = 60 HzC = 100 µF

cos φ =

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路が 500 kHz で共振し、Q = 2 です。下側の半電力周波数 f₁ を厳密に kHz で求めなさい。

f₀ = 500 kHzQ = 2

f₁ = kHz

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

全抵抗 10 Ω、共振周波数 50 kHz、帯域幅 2.5 kHz の RLC 直列フィルタを設計します。静電容量 C を nF で求めなさい。

R = 10 Ωf₀ = 50 kHzBW = 2.5 kHz

C = nF

9.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 110 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 95%、力率は遅れ 0.84 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 110 kWη = 95%cos φ = 0.84V_L = 480 V

I_L = A

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 1 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 t = 60 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 12 VR = 3.3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 Vt = 60 ms

v_C = V

13.テブナン・ノートンふつう

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

14.テブナン・ノートンむずかしい

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 15 rad/s における G(s) = 25(s + 2)/(s(s + 13)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。

G(s) = 25(s + 2)/(s(s + 13))ω = 15 rad/s

∠G(jω) = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 144/(s(s + 4)) である。位相余裕 PM を度で求めよ。

L(s) = 144/(s(s + 4))

PM = °

3溶液

1.複素数

答え: θ = −166 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

象限

a = −8, b = −2 → III

基準角

α = atan(2/8) = 14.04°

偏角

θ = −(180° − α) = −166°

答え

θ = −166°

極形式では z = 8.246∠−166° です。

2.複素数

答え: r = 2

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = 2 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 1²) = z² − 4z + 5

2 次式でくくり出す

z³ − 6z² + 13z − 10 = (z² − 4z + 5)(z − 2)

実数の解

r = 2

答え

r = 2

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = 4 + 2 = 6 = −(−6)。

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 2.708 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 37.7 Ω, X_C = 265.3 Ω

インピーダンス

|Z| = √(60² + (−227.6)²) = 235.3 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 50/235.3 = 0.2125 A

P = I²·R = 0.2125²·60 = 2.708 W

答え

P = 2.708 W

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 15 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (30.02)²) = 42.44 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/42.44 = 0.5655 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.5655·26.53 = 15 V

答え

V_C = 15 V

5.交流電力と力率

答え: I = 20.46 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 4000/(230·0.85) = 20.46 A

答え

I = 20.46 A

6.交流電力と力率

答え: cos φ = 0.8774

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 18·tan(arccos 0.75) = 15.87 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·100·10⁻⁶ = 6032 var = 6.032 kvar

Q₂ = 15.87 − 6.032 = 9.843 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(18² + 9.843²) = 20.52 kVA

新しい力率

cos φ = P/S₂ = 18/20.52 = 0.8774

答え

cos φ = 0.8774

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: f₁ = 390.4 kHz

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

平方根の項

√(1 + 1/(4·2²)) = 1.031

下側の半電力周波数

f₁ = 500000·(1.031 − 0.25) = 390388 Hz = 390.4 kHz

答え

f₁ = 390.4 kHz

上側は f₂ = 640.4 kHz です。確認：f₂ − f₁ = 250 kHz = f₀/Q。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: C = 15.92 nF

帯域幅から求めるインダクタンス

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·2500) = 0.0006366 H

共振周波数から求める静電容量

C = 1/((2π·50000)²·0.0006366) = 1.592 × 10⁻⁸ F = 15.92 nF

答え

C = 15.92 nF

Q = f₀/BW = 20。

9.三相電力

答え: I_L = 165.8 A

電気入力

P_in = P_out/η = 110/0.95 = 115.8 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 115789/(√3·480·0.84) = 165.8 A

答え

I_L = 165.8 A

10.三相電力

答え: C_ph = 457.6 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29.71 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9903/(377·239.6²) = 457.6 µF

答え

C_ph = 457.6 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.5057 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

電流の減衰

i(t) = 1·e^−1/1.467 = 0.5057 A

答え

i = 0.5057 A

12.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 7.624 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(60) = 12 + (−10)·e^−60/72.6 = 7.624 V

答え

v_C = 7.624 V

13.テブナン・ノートン

答え: I_N = 1.333 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 5 = 6.429 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·5/(2+5) = 8.571 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 8.571/6.429 = 1.333 A

14.テブナン・ノートン

答え: I_N = −0.9886 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 4 = 12.57 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + (−1.5)·8.571 = −6.429 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −6.429 + (−1.5)·4 = −12.43 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = −12.43/12.57 = −0.9886 A

15.ボード線図と余裕

答え: ∠G(jω) = −56.68 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

角を足す

∠G = atan(15/2) − 90° − atan(15/13) = 82.41° − 90° − 49.09°

結果

∠G(j15) = −56.68°

答え

∠G(jω) = −56.68°

16.ボード線図と余裕

答え: PM = 18.92 °

ゲイン交差

ω⁴ + 16ω² − 20736 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·20736))/2 = 136.2

ω_c = 11.67 rad/s

位相余裕

∠L(jω_c) = −90° − atan(11.67/4) = −161.1°

PM = 180° + ∠L = 18.92°

答え

PM = 18.92°

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

象限

基準角

偏角

答え

共役な対

2 次式でくくり出す

実数の解

答え

リアクタンス

インピーダンス

有効電力

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

線電流

答え

改善前後の無効電力

新しい皮相電力

新しい力率

答え

平方根の項

下側の半電力周波数

答え

帯域幅から求めるインダクタンス

共振周波数から求める静電容量

答え

電気入力

線電流

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数

電流の減衰

答え

初期値、最終値、時定数

指定時刻の電圧

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

角を足す

結果

答え

ゲイン交差

位相余裕

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める