電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z₁ = 2.5∠150°、z₂ = 1.5∠110° のとき、w = z₁/z₂ の偏角 θ を、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

z₁ = 2.5∠150°z₂ = 1.5∠110°

θ = °

2.複素数むずかしい

方程式 z² − 6z + 25 = 0 には 2 つの複素数の解があります。その絶対値 |z| を求めてください。

p = −6q = 25

|z| =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 150 mH

φ = °

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

V_L = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.6 で 19 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 19 kWpf = 0.6V = 400 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 35 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 35 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 並列回路で R = 4.7 kΩ、L = 470 µH、C = 10 nF です。Q 値 Q を求めなさい。

R = 4.7 kΩL = 470 µHC = 10 nF

Q =

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

RLC 直列の共振回路に 22 µH のインダクタを使います。帯域幅を 10 kHz にするには、直列の全抵抗 R をいくらにすればよいですか。

L = 22 µHBW = 10 kHz

R = Ω

9.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 15 + j20 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 415 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 415 VZ = 15 + j20 Ω 1 相あたり

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 100 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 95% に達するか。t を求めよ。

V_s = 20 VR = 22 ΩL = 100 mH

t = ms

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 20 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 10 µFt = 20 ms

v_C = V

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 30 VI_s = 0.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 5 rad/s における G(s) = 21(s + 1)/(s(s + 16)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。

G(s) = 21(s + 1)/(s(s + 16))ω = 5 rad/s

∠G(jω) = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)) である。ゲイン余裕が 3 dB となるゲイン K を求めよ。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6))GM = 3 dB

K =

3溶液

1.複素数

答え: θ = 40 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 2.5 / 1.5 = 1.667

θ = 150° − 110° = 40°

偏角

θ = 40°

答え

θ = 40°

2.複素数

答え: |z| = 5

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 36 − 100 = −64 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (6 ± j√64)/2 = 3 + j4, 3 − j4

答え

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5

答え

|z| = 5

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 27.95 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 230/50 = 4.6 A

I_X = V/X_L = 230/94.25 = 2.44 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(4.6² + 2.44²) = 5.207 A

位相角

コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(2.44/4.6) = 27.95°

答え

φ = 27.95°

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 7.293 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0.05 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 1459·0.1 = 145.9 Ω

V_L = I·X_L = 0.05·145.9 = 7.293 V

答え

V_L = 7.293 V

これは電源電圧の Q = 7.293 倍です。

5.交流電力と力率

答え: I = 79.17 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 19000/(400·0.6) = 79.17 A

答え

I = 79.17 A

6.交流電力と力率

答え: I_new = 169.1 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(41.41°) = 30.87 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13.92 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 35000/(230·0.9) = 169.1 A

答え

I_new = 169.1 A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 21.68

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 461266 rad/s

Q 値

Q = R/(ω₀L) = 4700/(461266·0.00047) = 21.68

答え

Q = 21.68

帯域幅は 1/(2πRC) = 3.386 kHz です。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: R = 1.382 Ω

直列の帯域幅

BW = R/(2πL)

抵抗

R = 2π·2.2 × 10⁻⁵·10000 = 1.382 Ω

答え

R = 1.382 Ω

9.三相電力

答え: P = 12.4 kW

相電圧

V_ph = V_L = 415 V

相電流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 415/25 = 16.6 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·16.6²·15 = 12.4 kW

答え

P = 12.4 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

10.三相電力

答え: C_ph = 284 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55.32 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18441/(377·415²) = 284 µF

答え

C_ph = 284 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: t = 13.62 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms

i(∞) = V_s/R = 20/22 = 0.9091 A

時間について解く

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −4.545·ln(0.05) = 13.62 ms

答え

t = 13.62 ms

12.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 5.388 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 10·4.7/(1 + 4.7) = 8.246 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 4.7·10 = 47 ms

放電

v_C(t) = 8.246·e^−20/47 = 5.388 V

答え

v_C = 5.388 V

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 10 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 4 = 8.444 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·10/(8+10) = 10 V

14.テブナン・ノートン

答え: V_th = 14.4 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.2 + 6 = 7.2 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + (−0.5)·1.2 = 17.4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17.4 + (−0.5)·6 = 14.4 V

15.ボード線図と余裕

答え: ∠G(jω) = −28.66 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

角を足す

∠G = atan(5/1) − 90° − atan(5/16) = 78.69° − 90° − 17.35°

結果

∠G(j5) = −28.66°

答え

∠G(jω) = −28.66°

16.ボード線図と余裕

答え: K = 67.96

位相交差

(ω/2)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·6) = 3.464 rad/s

位相交差での大きさ

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 36)) = K/(2·6·(2 + 6)) = K/96

必要なゲイン

96/K = 10^3/20 = 1.413

K = 96/1.413 = 67.96

答え

K = 67.96

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

w の絶対値と偏角

偏角

答え

判別式

2 次方程式の解の公式

答え

答え

リアクタンス

枝電流

全電流

位相角

答え

共振

コイルの両端の電圧

答え

線電流

答え

改善前後の無効電力

新しい線電流

答え

共振周波数

Q 値

答え

直列の帯域幅

抵抗

答え

相電圧

相電流

全有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数と最終電流

時間について解く

答え

コンデンサの初期電圧

スイッチが開いた後の時定数

放電

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

角を足す

結果

答え

位相交差

位相交差での大きさ

必要なゲイン

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める