電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = 4∠−75° を直交形式 a + jb で表し、実部 a を答えてください。

r = 4θ = −75°

a =

2.複素数むずかしい

方程式 z² − 5z + 15.25 = 0 には 2 つの複素数の解があります。その絶対値 |z| を求めてください。

p = −5q = 15.25

|z| =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 5 mH、C = 0.047 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 20 ΩL = 5 mHC = 0.047 µF

B = Hz

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.65 で 9 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 9 kWpf = 0.65V = 240 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

100 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.6 で 30 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 100 kVAP₁ = 30 kWpf₁ = 0.6

ΔP = kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

1 nF のコンデンサを 24 V に充電し、理想的な 100 µH のインダクタと振動させます。コンデンサの電圧が 6 V になった瞬間にインダクタに蓄えられているエネルギー W_L を nJ で求めなさい。

C = 1 nFV₀ = 24 Vv_C = 6 V

W_L = nJ

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

充電した 4.7 nF のコンデンサが、全直列抵抗 2 Ω の 2.2 mH のコイルを通して放電するので、振動はゆっくり減衰します。振幅は e^−Rt/(2L) に従って減衰します。振幅が半分になるまでに、振動は何周期 n 起こりますか。（損失は小さいので、周波数は f₀ とします。）

L = 2.2 mHC = 4.7 nFR = 2 Ω

n =

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 208 V の電源から線電流 150 A を流している。力率は遅れ 0.7 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 208 VI_L = 150 Acos φ = 0.7

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 0.261 A に達するか。t を求めよ。

V_s = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 47 ΩL = 68 mH

t = ms

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

15.ボード線図と余裕ふつう

図の RL ハイパスフィルタは R = 100 Ω, L = 1 mH です。48 kHz の正弦波入力が加えられます。 v_in に対する v_out の位相のずれ φ を度で求めよ。

R = 100 ΩL = 1 mHf = 48 kHz

φ = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 13.5/(s(s + 5)) である。 |L(jω)| = 1 となるゲイン交差周波数 ω_c を求めよ。

L(s) = 13.5/(s(s + 5))

ω_c = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: a = 1.035

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 4·cos(−75°) = 1.035

b = 4·sin(−75°) = −3.864

直交形式

z = 1.035 − j3.864

a = 1.035

答え

a = 1.035

2.複素数

答え: |z| = 3.905

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 25 − 61 = −36 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (5 ± j√36)/2 = 2.5 + j3, 2.5 − j3

答え

|z| = √(2.5² + 3²) = √15.25 = 3.905

答え

|z| = 3.905

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 0.2322 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 188.5 Ω, X_C = 36.17 Ω

インピーダンス

|Z| = √(40² + (152.3)²) = 157.5 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 12/157.5 = 0.0762 A

P = I²·R = 0.0762²·40 = 0.2322 W

答え

P = 0.2322 W

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 636.6 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.005/(0.047·10⁻⁶)) = 16.31

帯域幅

B = f₀/Q = 10382/16.31 = 636.6 Hz

答え

B = 636.6 Hz

5.交流電力と力率

答え: Q = 10.52 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

無効電力

Q = P·tan φ = 9·1.169 = 10.52 kvar

答え

Q = 10.52 kvar

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 61.65 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 30·tan(arccos 0.6) = 40 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 40²) = 91.65 kW

追加できる有効電力

ΔP = 91.65 − 30 = 61.65 kW

答え

ΔP = 61.65 kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: W_L = 270 nJ

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f₀ = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV₀² は一定なので、ピーク電流は I_max = V₀√(C/L) です。1 周期は T = 1/f₀ で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

全エネルギー

½·1 × 10⁻⁹·24² = 2.88 × 10⁻⁷ J

コンデンサに残るエネルギー

½·1 × 10⁻⁹·6² = 1.8 × 10⁻⁸ J

インダクタのエネルギー

W_L = 2.7 × 10⁻⁷ J = 270 nJ

答え

W_L = 270 nJ

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: n = 75.48

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

振幅の半減期

t = 2·0.0022·ln 2/2 = 0.001525 s

周期数

n = t·f₀ = 0.001525·49495 = 75.48

答え

n = 75.48

近道：Q = 342.1 を使って n = Q·ln 2/π。

9.三相電力

答え: P = 37.83 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·208·150 = 54.04 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 54.04·0.7 = 37.83 kW

答え

P = 37.83 kW

10.三相電力

答え: C_ph = 631.8 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.8) = 75·0.75 = 56.25 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41.02 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13674/(377·239.6²) = 631.8 µF

答え

C_ph = 631.8 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: W = 0.6668 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0.1277 A

指定時刻の電流

i(t) = 0.1277·(1 − e^−5/2.128) = 0.1155 A

蓄積エネルギー

W = ½·L·i² = ½·100·0.1155² = 0.6668 mJ

答え

W = 0.6668 mJ

12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 0.9267 ms

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。

i(0) = 9/20 = 0.45 A

i(∞) = 9/(20 + 47) = 0.1343 A

τ = L/R = 68/67 = 1.015 ms

i(t) = 0.1343 + (0.45 − 0.1343)·e^−t/τ

時間について解く

e^−t/τ = (0.261 − 0.1343)/(0.45 − 0.1343) = 0.4013

t = 1.015·ln(2.492) = 0.9267 ms

答え

t = 0.9267 ms

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 14.77 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 20 = 23.08 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·8/(5+8) = 14.77 V

14.テブナン・ノートン

答え: V_th = 11 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.857 + 3 = 5.857 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.143 + 1·2.857 = 8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8 + 1·3 = 11 V

15.ボード線図と余裕

答え: φ = 18.34 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

カットオフ周波数

ω_c = R/L = 100/0.001 = 100000 rad/s

f_c = 15915 Hz → f/f_c = 48000/15915 = 3.016

位相

φ = 90° − atan(3.016) = 18.34°

答え

φ = 18.34°

16.ボード線図と余裕

答え: ω_c = 2.429 rad/s

ゲイン交差

ω⁴ + 25ω² − 182.3 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·182.3))/2 = 5.898

ω_c = 2.429 rad/s

答え

ω_c = 2.429 rad/s

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

成分

直交形式

答え

判別式

2 次方程式の解の公式

答え

答え

リアクタンス

インピーダンス

有効電力

答え

共振周波数

Q 値

帯域幅

答え

位相角

無効電力

答え

既存の負荷の無効電力

最大の全有効電力

追加できる有効電力

答え

全エネルギー

コンデンサに残るエネルギー

インダクタのエネルギー

答え

振幅の半減期

周期数

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数と最終電流

指定時刻の電流

蓄積エネルギー

答え

初期値、最終値、時定数

時間について解く

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

カットオフ周波数

位相

答え

ゲイン交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める