コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −91 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −918 bit

U =

2.記数法むずかしい

非圧縮の画像が 1920 × 1080 ピクセル、1 ピクセルあたり 24 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

1920 × 1080 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命題論理と証明ふつう

(b ∨ c) → a を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

(b ∨ c) → a

1(b ∨ c) ∧ ¬a
2a → (b ∨ c)
3¬(b ∨ c) → ¬a
4¬a → ¬(b ∨ c)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))

1∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
3∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(1, 4, 5) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？

F(A, B, C) = Σm(1, 4, 5)

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7) + d(6, 11, 14) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7) + d(6, 11, 14)

N =

7.整数論と合同式ふつう

11x ≡ 28 (mod 37) を解いてください。0 < x < 37 を満たす解 x を答えてください。

11x ≡ 28 (mod 37)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 17、q = 41、e = 13 を使います。暗号文 c = 605 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 17q = 41e = 13c = 605

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: for j = 1 to i: do O(1) work の時間計算量は何ですか？

AO(n)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n³)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

P と NP に関する記述として正しいものはどれですか？

ANP の問題は高速に検証できない
BP に属するすべての問題は NP にも属する
CNP は "not polynomial" を意味する
DP ≠ NP であることが証明されている

11.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

Aインデックス 2i + 1
Bインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
Cインデックス i − 1
Dインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

12.データ構造むずかしい

すべての B 木を完全に平衡に保っている性質はどれですか。

Aキーは根にだけ格納される
Bすべてのノードがちょうど 2 つの子をもつ
Cすべての葉が同じ深さにある
D各ノードは 1 つのキーを格納する

13.グラフ理論ふつう

木に次数 5 の頂点が 2 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 5

L =

14.グラフ理論むずかしい

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BC
4辺 BD
5辺 CE
6辺 DE
7辺 BE

15.データベースと SQLふつう

orders テーブルには 5 行あり、それぞれが既存の顧客を参照しています。customers テーブルは 3 行です。customer_id での INNER JOIN は何行を返しますか？

16.データベースと SQLむずかしい

本番環境のクエリで NATURAL JOIN が危険とされるのはなぜですか？

A同じ名前のすべての列で結合するため、新しい列が追加されると結果が知らないうちに変わりうるから
B常に直積を返すから
C主キーと外部キーを無視し、NULL の行だけを残すから
Dどのデータベースでもサポートされていないから

17.コンピュータネットワークふつう

偶数パリティを使うとき、データビット 1011001 に付け加えるパリティビットはどれですか？

18.コンピュータネットワークむずかしい

サイトが自己署名証明書を提示すると、ブラウザーが警告を出すのはなぜですか？

Aその証明書は常に期限切れだから
Bサイトが HTTPS ではなく HTTP を使っているはずだから
C自己署名証明書はまったく暗号化を使わないので、通信は平文で送られる
Dその鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから

19.IPv4 サブネット化ふつう

あるサブネットはマスク 255.255.255.252 を使っています。使えるホストアドレスはいくつ H ありますか？

255.255.255.252

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.255.244/29 です。そのサブネットのブロードキャストアドレスの最後の数（第 4 オクテット）x はいくつですか？

10.20.255.244/29

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 165

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

91 = 0101 1011

反転後: 1010 0100

+1 → 1010 0101

符号なしとして読む

1010 0101₂ = 256 − 91 = 165

答え

U = 165

2.記数法

答え: M = 6075 KiB

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットとバイト

1920·1080·24 = 49766400 bit = 6220800 B

KiB に換算する

6220800/1024 = 6075 KiB

答え

M = 6075 KiB

3.命題論理と証明

答え: ¬a → ¬(b ∨ c)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = b ∨ c, b = a

対偶

¬b → ¬a = ¬a → ¬(b ∨ c)

答え

¬a → ¬(b ∨ c)

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答え

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 4

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

B′C

AB′

最小の SOP 形

F = B′C + AB′

L = 4

答え

L = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

A′CD′, A′B′D′, A′B′C′, A′BC

最小被覆

F = A′CD′ + A′B′C′ + A′BC

N = 3

答え

N = 3

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

7.整数論と合同式

答え: x = 16

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

11 の逆元

r = 37, t = 0

r = 11, q = 3, t = 1

r = 4, q = 2, t = −3

r = 3, q = 1, t = 7

r = 1, q = 3, t = −10

11⁻¹ ≡ 27 (mod 37)

解く

x ≡ 27·28 = 756 ≡ 16 (mod 37)

確認: 11·16 = 176 ≡ 28 (mod 37)

答え

x = 16

8.整数論と合同式

答え: m = 23

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 697, φ(n) = 640

d = 13⁻¹ mod 640 = 197

反復二乗法で復号する

197 = 128 + 64 + 4 + 1

605¹ ≡ 605 (mod 697)

605² ≡ 100 (mod 697)

605⁴ ≡ 242 (mod 697)

605⁸ ≡ 16 (mod 697)

605¹⁶ ≡ 256 (mod 697)

605³² ≡ 18 (mod 697)

605⁶⁴ ≡ 324 (mod 697)

605¹²⁸ ≡ 426 (mod 697)

605¹⁹⁷ ≡ 605·242·324·426 ≡ 23 (mod 697)

メッセージ

m = 23

確認: 23¹³ mod 697 = 605

答え

m = 23

9.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n²)

これが答えになる理由

内側の本体は合計で n(n + 1) / 2 回実行され、これはやはり 2 乗です。

答え

B · O(n²)

10.アルゴリズムと計算量

答え: B · P に属するすべての問題は NP にも属する

これが答えになる理由

P ⊆ NP です。問題を高速に解けるなら、解も高速に検証できます。P = NP かどうかは未解決です。

答え

B · P に属するすべての問題は NP にも属する

11.データ構造

答え: D · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

これが答えになる理由

i の子は 2i + 1 と 2i + 2 にあるので、i の親は ⌊(i − 1) / 2⌋ です。1 から始まるインデックスでは ⌊i / 2⌋ になります。

答え

D · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

12.データ構造

答え: C · すべての葉が同じ深さにある

これが答えになる理由

ノードは満杯になると上に向かって分割され、木が高くなるのは根が分割されたときだけなので、すべての葉は常に同じレベルにとどまります。

答え

C · すべての葉が同じ深さにある

13.グラフ理論

答え: L = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 10 = 2(L + 2) − 2

L = 8

答え

L = 8

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

14.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. BE (2)

2. AB (5)

3. CE (6)

4. DE (15)

辺の番号 2

答え

辺 AB

15.データベースと SQL

答え: B · 5

これが答えになる理由

どの注文もちょうど 1 人の一致する顧客を見つけるので、結合は注文ごとに 1 行、つまり 5 行を返します。

答え

B · 5

16.データベースと SQL

答え: A · 同じ名前のすべての列で結合するため、新しい列が追加されると結果が知らないうちに変わりうるから

これが答えになる理由

自然結合は、例えば無関係な "name" や "created_at" など、同じ名前の列すべてを照合します。明示的な ON や USING 句のほうが安全です。

答え

A · 同じ名前のすべての列で結合するため、新しい列が追加されると結果が知らないうちに変わりうるから

17.コンピュータネットワーク

答え: A · 0

これが答えになる理由

1011001 には 1 のビットが 4 つあり、すでに偶数なので、パリティビットは 0 です。奇数パリティなら 1 になります。

答え

A · 0

18.コンピュータネットワーク

答え: D · その鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから

これが答えになる理由

ブラウザーは、信頼ストアにある CA が直接または連鎖を通じて署名した証明書を信頼します。自己署名証明書は、中間者を含め誰でも作ることができます。

答え

D · その鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 2

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

プレフィックス長

255.255.255.252 = /30

使えるホスト数

2² − 2 = 2

答え

H = 2

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 247

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

ブロックサイズ

2³ = 8

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊244/8⌋·8 = 240

ブロードキャスト: 240 + 8 − 1 = 247

使えるホスト: 241 … 246

答え

x = 247

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