コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1101 1111 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1101 11118 bit

N =

2.記数法むずかしい

ビットを 0011 0001 OR 0111 0111 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0011 0001OR0111 0111

R =

3.命題論理と証明ふつう

¬(q ∨ p) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

¬(q ∨ p)

1¬q ∧ ¬p
2¬q ∨ ¬p
3q ∨ ¬p
4¬q ∧ p

4.命題論理と証明むずかしい

真理値表の 16 行のうち、(s ∨ (r ∧ ¬p)) ∧ ¬(q → (r ∧ s)) が真になるのは何行ですか？この数を N とします。

(s ∨ (r ∧ ¬p)) ∧ ¬(q → (r ∧ s))

N =

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(0, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 12, 13) + d(3, 8, 11) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 12, 13) + d(3, 8, 11)

N =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(125)、つまり 1 から 125 までの整数のうち 125 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 125 = 5³

φ(125) =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 11、q = 31、e = 13 を使います。暗号文 c = 97 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 11q = 31e = 13c = 97

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

k 進数で d 桁の n 個の整数に対する LSD 基数ソートの実行時間は何ですか？

AO(d(n + k))
BO(dn log k)
CO(n²)
DO(n log n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

AO(V × E)
BO(V + E)
CO((V + E) log V)
DO(V³)

11.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

A根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
B最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
Cすべての葉から新しい最小値を探す
D配列の最後の要素を取り除く

12.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

Aスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
B安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
C墓標がハッシュ計算を高速化するから
Dテーブルがソートされた状態になるから

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 6

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9

W =

15.データベースと SQLふつう

2 つの SELECT クエリの間で使う INTERSECT は何を返しますか？

A1 つ目の結果にあって 2 つ目にない行
B結果の直積
C両方の結果に現れる行
D両方の結果のすべての行

16.データベースと SQLむずかしい

クエリに対するカバリングインデックスとは何ですか？

Aすべてのテーブルのすべての列をカバーするインデックス
B主キーだけのインデックス
Cクエリに必要なすべての列を含み、テーブル自体を読まなくてよいインデックス
D毎晩再構築されるインデックス

17.コンピュータネットワークふつう

スイッチは通常 OSI のどの層で動作しますか？

A物理層（レイヤー 1）
Bトランスポート層（レイヤー 4）
Cネットワーク層（レイヤー 3）
Dデータリンク層（レイヤー 2）

18.コンピュータネットワークむずかしい

コンテンツデリバリーネットワーク（CDN）は主にどのように Web のパフォーマンスを向上させますか？

ATCP をより高速なトランスポートプロトコルに置き換える
BDNS の名前解決を不要にする
Cユーザーの近くにあるサーバーから、キャッシュしたコンテンツを配信する
Dユーザー自身の自宅回線の帯域幅を増やす

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.174.0/24 を /25 のサブネットに分割し、最も小さいアドレスから 1、2、3、… と番号をつけます（サブネット 1 は .0 から始まる）。サブネット 2 のブロードキャストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

192.168.174.0/24/25サブネット 2 (サブネット 1 は .0 から始まる)

x =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.18.109.0/24, 10.18.110.0/24, 10.18.111.0/24, 10.18.112.0/24, 10.18.113.0/24, 10.18.114.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.18.109.0/24 … 10.18.114.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: N = −33

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −33

答え

N = −33

2.記数法

答え: R = 119

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

0011 0001

OR 0111 0111

= 0111 0111

結果の値

0111 0111₂ = 119

答え

R = 119

3.命題論理と証明

答え: ¬q ∧ ¬p

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

ド・モルガンの法則：¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b。∨ は ∧ に変わり、両方の部分が否定されます。

¬(q ∨ p) ≡ ¬q ∧ ¬p

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1: 0 | 0 0 1 0

p = 1, q = 0: 0 | 0 1 0 1

p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0

答え

¬q ∧ ¬p

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: N = 3

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

列

¬p; r ∧ ¬p; s ∨ (r ∧ ¬p); r ∧ s; q → (r ∧ s); ¬(q → (r ∧ s)); (s ∨ (r ∧ ¬p)) ∧ ¬(q → (r ∧ s))

p で分ける

p = 1: 1

p = 0: 2

N = 1 + 2 = 3

答え

N = 3

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 10, CD = 10

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m10: m11, m8, m14, m2 → 0

孤立した 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

答え

AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

C′D′, BC′, A′BD′

最小被覆

F = C′D′ + BC′ + A′BD′

N = 3

答え

N = 3

7.整数論と合同式

答え: φ(125) = 100

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

125 = 5³

トーシェント関数

φ(125) = 125 − 25 = 100

答え

φ(125) = 100

8.整数論と合同式

答え: m = 202

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 341, φ(n) = 300

d = 13⁻¹ mod 300 = 277

反復二乗法で復号する

277 = 256 + 16 + 4 + 1

97¹ ≡ 97 (mod 341)

97² ≡ 202 (mod 341)

97⁴ ≡ 225 (mod 341)

97⁸ ≡ 157 (mod 341)

97¹⁶ ≡ 97 (mod 341)

97³² ≡ 202 (mod 341)

97⁶⁴ ≡ 225 (mod 341)

97¹²⁸ ≡ 157 (mod 341)

97²⁵⁶ ≡ 97 (mod 341)

97²⁷⁷ ≡ 97·225·97·97 ≡ 202 (mod 341)

メッセージ

m = 202

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

A, B, D, F → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

14.グラフ理論

答え: W = 46

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

EF (3): 取る

GB (4): 取る

AC (6): 取る

CE (7): 取る

GE (8): 取る

C · ユーザーの近くにあるサーバーから、キャッシュしたコンテンツを配信する

19.IPv4 サブネット化

答え: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ブロックサイズ

2⁷ = 128

サブネット番号 2

ネットワーク: (2 − 1)·128 = 128

ブロードキャスト: 128 + 128 − 1 = 255

答え

x = 255

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 19

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

109 = 01101101

114 = 01110010

共通する先頭のビット：3

プレフィックス長

p = 16 + 3 = 19

答え

p = /19

集約経路：10.18.96.0/19 （リストにない 26 個のネットワークもカバーします）。

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