コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−87 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −878 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1001 0011 OR 0100 0111 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1001 0011OR0100 0111

R =

3.命題論理と証明ふつう

(p ∨ q) → r を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

(p ∨ q) → r

1¬(p ∨ q) → ¬r
2(p ∨ q) ∧ ¬r
3r → (p ∨ q)
4¬r → ¬(p ∨ q)

4.命題論理と証明むずかしい

真理値表の 16 行のうち、¬(((p → r) ∨ q) ↔ (¬s → p)) が真になるのは何行ですか？この数を N とします。

¬(((p → r) ∨ q) ↔ (¬s → p))

N =

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 7, 10) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 7, 10)

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの D フリップフロップが Q = 0 から始まり、6 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0D

N =

7.整数論と合同式ふつう

27x ≡ 29 (mod 37) を解いてください。0 < x < 37 を満たす解 x を答えてください。

27x ≡ 29 (mod 37)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 37 を RSA 公開鍵 (n, e) = (323, 5) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 323e = 5m = 37

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

AO(V × E)
BO(E log V)
CO(V³ × E)
DO(V + E)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

An! は 2ⁿ より速く増加する
B2ⁿ は n! より速く増加する
C同じ速さで増加する
Dn! は O(n²) である

11.データ構造ふつう

2 つのスタックでキューを実装します。「in」スタックに push し、「out」スタックから pop し、「out」が空になったら「in」から補充します。1 回の操作あたりのならしコストはどれですか。

AO(n)
BO(1)
CO(n²)
DO(log n)

12.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

A出次数で順序づけた最大ヒープ
Bどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
C入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
D訪問したすべての辺のスタック

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₅ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₅

H =

14.グラフ理論むずかしい

プリム法は、頂点 B から始めて最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Bk = 4

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BC
4辺 BD
5辺 CE
6辺 DE
7辺 DF
8辺 EF
9辺 GB
10辺 GC
11辺 GD

15.データベースと SQLふつう

共通テーブル式（WITH name AS (...)）は何を提供しますか？

A1 つの文の中で使える、名前付きの一時的な結果
B新しいデータベースユーザー
C削除されるまでディスクに保存され続ける恒久的なテーブル
D列に対するインデックス

16.データベースと SQLむずかしい

テーブル enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) のキーは (student_id, course_id) です。どの正規形に違反していますか？

Agrade 列が原子的な値を持たないので、第 1 正規形
Bstudent_name が student_id だけに従属するので、第 2 正規形
Cどれにも違反していない。BCNF である
Dgrade が student_name に従属するので、第 3 正規形だけ

17.コンピュータネットワークふつう

DNS の MX レコードは何を指定しますか？

AWeb サーバーの IPv4 アドレス
B別のホストの別名
Cドメインのメールを受け付けるメールサーバー
Dゾーンのネームサーバー

18.コンピュータネットワークむずかしい

シャノンの定理によれば、信号対雑音比が 255 の 1 MHz のチャネルの通信容量はいくつですか？

A8 Mbit/s
B1 Mbit/s
C255 Mbit/s
D2 Mbit/s

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 779 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

779 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.61.8.0/24, 10.61.9.0/24, 10.61.10.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.61.8.0/24 … 10.61.10.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: U = 169

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

87 = 0101 0111

反転後: 1010 1000

+1 → 1010 1001

符号なしとして読む

1010 1001₂ = 256 − 87 = 169

答え

U = 169

2.記数法

答え: R = 215

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

1001 0011

OR 0100 0111

= 1101 0111

結果の値

1101 0111₂ = 215

答え

R = 215

3.命題論理と証明

答え: ¬r → ¬(p ∨ q)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = p ∨ q, b = r

対偶

¬b → ¬a = ¬r → ¬(p ∨ q)

答え

¬r → ¬(p ∨ q)

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: N = 6

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

列

p → r; (p → r) ∨ q; ¬s; ¬s → p; ((p → r) ∨ q) ↔ (¬s → p); ¬(((p → r) ∨ q) ↔ (¬s → p))

p で分ける

p = 1: 2

p = 0: 4

N = 2 + 4 = 6

答え

N = 6

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 10

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

B′CD′

A′BC

A′B′C′D

最小の SOP 形

F = B′CD′ + A′BC + A′B′C′D

L = 10

答え

L = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

D フリップフロップは、立ち上がりエッジごとに D をコピーします：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 0 → Q = 0

変化を数える

0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: x = 23

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

27 の逆元

r = 37, t = 0

r = 27, q = 1, t = 1

r = 10, q = 2, t = −1

r = 7, q = 1, t = 3

r = 3, q = 2, t = −4

r = 1, q = 3, t = 11

27⁻¹ ≡ 11 (mod 37)

解く

x ≡ 11·29 = 319 ≡ 23 (mod 37)

確認: 27·23 = 621 ≡ 29 (mod 37)

答え

x = 23

8.整数論と合同式

答え: c = 56

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

5 = 4 + 1

37¹ ≡ 37 (mod 323)

C · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

13.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12

14.グラフ理論

答え: 辺 EF

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BC (2)

2. BD (7)

3. DF (4)

4. EF (5)

5. GC (9)

6. AB (11)

C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s。これは雑音のあるチャネルで誤りなく送れるデータ速度の上限です。

答え

A · 8 Mbit/s

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 22

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2⁹ − 2 = 510 < 779

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 779 → h = 10

プレフィックス長

p = 32 − 10 = 22

答え

p = /22

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 22

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

8 = 00001000

10 = 00001010

共通する先頭のビット：6

プレフィックス長

p = 16 + 6 = 22

答え

p = /22

集約経路：10.61.8.0/22 （リストにない 1 個のネットワークもカバーします）。

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