コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −57 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −578 bit

U =

2.記数法むずかしい

非圧縮の画像が 1280 × 720 ピクセル、1 ピクセルあたり 16 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命題論理と証明ふつう

(b → c) ↔ (¬c → ¬b) は恒真式、矛盾、そのどちらでもない式のうちのどれですか？答えをクリックしてください。

(b → c) ↔ (¬c → ¬b)

1恒真式
2矛盾（恒偽式）
3恒真でも矛盾でもない式

4.命題論理と証明むずかしい

前提 r → p; ¬r、結論 ¬p の論証は妥当ではありません。反例となる真理値表の行をクリックしてください。

r → p¬r∴ ¬p

1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = C、I₁ = C′、I₂ = 0、I₃ = 1 につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = CI₁ = C′I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 6, 11) + d(3, 9, 10, 13, 14) の最小の SOP 形を求めてください。リテラル L はいくつ含まれますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 6, 11) + d(3, 9, 10, 13, 14)

L =

7.整数論と合同式ふつう

x ≡ 3 (mod 4) かつ x ≡ 1 (mod 13) を満たす最小の正の整数 x を求めてください。

x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 1 (mod 13)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 17 と q = 47、公開指数 e = 11 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 17q = 47e = 11

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ボトムアップの表を使って n 番目のフィボナッチ数を計算する時間計算量は何ですか？

AO(log n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

2²ⁿ は O(2ⁿ) に属しますか？

Aはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから
Bいいえ。2²ⁿ は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
Cはい。どちらも指数的だから
Dいいえ。2²ⁿ = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

11.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

A4 2 5 1 3
B4 5 2 3 1
C5 4 3 2 1
D1 2 4 5 3

12.データ構造むずかしい

二分探索木から 2 つの子を持つノードを削除するには、通常どうしますか。

Aその下の部分木を一から作り直し、含まれていたすべてのキーを挿入し直す
B中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
C部分木全体を削除する
D根と入れ替える

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₇ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₇

H =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3

15.データベースと SQLふつう

コミットされた変更がシステムクラッシュ後も残ることを保証する ACID 特性はどれですか？

A独立性（Isolation）
B一貫性（Consistency）
C永続性（Durability）
D原子性（Atomicity）

16.データベースと SQLむずかしい

相関サブクエリ（correlated subquery）とは次のうちどれですか？

A集約関数だけを使うサブクエリ
B外側のクエリの前に 1 回だけ実行され、その結果がすべての行に対してキャッシュされるサブクエリ
C外部キーで 2 つのテーブルを結合するサブクエリ
D外側のクエリの列を参照し、外側の行ごとに評価されるサブクエリ

17.コンピュータネットワークふつう

次のうち、プライベート IPv4 アドレスの範囲はどれですか？

A200.1.1.0/24
B8.8.8.0/24
C100.0.0.0/8
D192.168.0.0/16

18.コンピュータネットワークむずかしい

コンテンツデリバリーネットワーク（CDN）は主にどのように Web のパフォーマンスを向上させますか？

Aユーザー自身の自宅回線の帯域幅を増やす
BDNS の名前解決を不要にする
Cユーザーの近くにあるサーバーから、キャッシュしたコンテンツを配信する
DTCP をより高速なトランスポートプロトコルに置き換える

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 1844 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

1844 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.236.128/29 です。そのサブネットのブロードキャストアドレスの最後の数（第 4 オクテット）x はいくつですか？

10.20.236.128/29

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 199

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

57 = 0011 1001

反転後: 1100 0110

+1 → 1100 0111

符号なしとして読む

1100 0111₂ = 256 − 57 = 199

答え

U = 199

2.記数法

答え: M = 1800 KiB

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットとバイト

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

KiB に換算する

1843200/1024 = 1800 KiB

答え

M = 1800 KiB

3.命題論理と証明

答え: 恒真式

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

真理値表を行ごとに見る

b = 1, c = 1: b → c = 1, ¬c = 0, ¬b = 0, ¬c → ¬b = 1, (b → c) ↔ (¬c → ¬b) = 1

b = 1, c = 0: b → c = 0, ¬c = 1, ¬b = 0, ¬c → ¬b = 0, (b → c) ↔ (¬c → ¬b) = 1

b = 0, c = 1: b → c = 1, ¬c = 0, ¬b = 1, ¬c → ¬b = 1, (b → c) ↔ (¬c → ¬b) = 1

b = 0, c = 0: b → c = 1, ¬c = 1, ¬b = 1, ¬c → ¬b = 1, (b → c) ↔ (¬c → ¬b) = 1

分類

(b → c) ↔ (¬c → ¬b): 1, 1, 1, 1

すべての行で 1：恒真式です。

答え

恒真式

4.命題論理と証明

答え: p = 1, r = 0

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

前提と結論を行ごとに見る

p = 1, r = 1: 1 0 | 0

p = 1, r = 0: 1 1 | 0

p = 0, r = 1: 0 0 | 1

p = 0, r = 0: 1 1 | 1

反例

p = 1, r = 0

答え

p = 1, r = 0

この形の論証は妥当な規則のように見えますが、1 行あれば妥当でないことを示せます。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = A′B′C + A′BC′ + AB

F = 1 の行

ABC = 001, 010, 110, 111

N = 4

答え

N = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 8

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′D, BCD′, A′C′D′, A′BD′, A′B′C′, AB′C

最小被覆

F = B′D + BCD′ + A′C′D′

L = 8

答え

L = 8

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

7.整数論と合同式

答え: x = 27

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

1 番目の合同式

x = 3 + 4k

2 番目の合同式

3 + 4k ≡ 1 (mod 13) → 4k ≡ 11 (mod 13)

k ≡ 10·11 ≡ 6 (mod 13)

結果

x = 3 + 4·6 = 27

x = 27

確認: 27 mod 4 = 3, 27 mod 13 = 1

答え

x = 27

8.整数論と合同式

答え: d = 67

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 17·47 = 799

φ(n) = 16·46 = 736

拡張ユークリッドの互除法

r = 736, t = 0

r = 11, q = 66, t = 1

r = 10, q = 1, t = −66

r = 1, q = 10, t = 67

秘密指数

d = 67

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360

14.グラフ理論

答え: C

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 9, C: 14

2. B (9): C: 11, D: 19, E: 13

3. C (11)

4. E (13): F: 22

5. D (19)

CDN はコンテンツのコピーを多数のエッジ拠点に置き、多くの場合 DNS を介してユーザーを近くのサーバーに誘導します。これによりレイテンシーとオリジンの負荷が減ります。

答え

C · ユーザーの近くにあるサーバーから、キャッシュしたコンテンツを配信する

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 21

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1844

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1844 → h = 11

プレフィックス長

p = 32 − 11 = 21

答え

p = /21

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 135

ブロックサイズ

2³ = 8

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊128/8⌋·8 = 128

ブロードキャスト: 128 + 8 − 1 = 135

使えるホスト: 129 … 134

答え

x = 135

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