コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−57 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −578 bit

U =

2.記数法むずかしい

16 ビットの 2 の補数で表せる最小（最も負の）整数 N はいくつですか？

16 bit

N =

3.命題論理と証明ふつう

(b ∧ a) → c と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

(b ∧ a) → c

1b → (a → c)
2(b → c) ∧ (a → c)
3(b → a) → c
4b ∧ (a → c)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (A(x) ∨ B(x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (A(x) ∨ B(x))

1∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
2∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
3∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
4∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = C′、I₁ = 1、I₂ = 1、I₃ = C につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = C′I₁ = 1I₂ = 1I₃ = C

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの JK フリップフロップが Q = 0 から始まり、7 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0JK

N =

7.整数論と合同式ふつう

59 を法とする 10 の逆元を求めてください：0 < x < 59 かつ 10·x ≡ 1 (mod 59) を満たす数 x です。

a = 10n = 59

10⁻¹ mod 59 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 5 と q = 11、公開指数 e = 23 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 5q = 11e = 23

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

Aループが一つだけ
Bランダムな入力のみ
C部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
D重複する部分問題と最適部分構造

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

n 個の未ソート要素からボトムアップ法で二分ヒープを構築する時間計算量は何ですか？

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n²)

11.データ構造ふつう

隣接行列を使って辺 (u, v) が存在するかを調べるのにどれだけ時間がかかりますか。

AO(E)
BO(V)
CO(1)
DO(log V)

12.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

Aすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
BB+ 木は平衡を保つ必要がないから
CB+ 木はデータを根にだけ格納するから
DB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 26 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 26

k =

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 9

W =

15.データベースと SQLふつう

employees テーブルには、別の従業員を参照する manager_id 列があります。各従業員をその上司の名前と並べて一覧にするにはどうしますか？

AUNION ALL と WHERE フィルターを使って、テーブルをそれ自身と結合する
Bmanager_id だけで GROUP BY を使う
Cディスク上にテーブルの 2 つ目のコピーを作る
D2 つの別名を使って employees テーブルをそれ自身と結合する

16.データベースと SQLむずかしい

WHERE YEAR(order_date) = 2025 を含むクエリが order_date のインデックスを使わないことがあるのはなぜですか？

AYEAR は有効な SQL ではないから
Border_date のインデックスは ORDER BY 句にしか使われず、WHERE には決して使われないから
Cインデックスは日付では決して機能しないから
D列に関数を適用すると、単純なインデックス範囲検索ができなくなるから

17.コンピュータネットワークふつう

次のうち、プライベート IPv4 アドレスの範囲はどれですか？

A100.0.0.0/8
B192.168.0.0/16
C200.1.1.0/24
D8.8.8.0/24

18.コンピュータネットワークむずかしい

次のうち、グローバル（RFC 1918 のプライベートではない）IPv4 アドレスはどれですか？

A172.31.0.1
B172.32.0.1
C10.255.0.1
D192.168.255.1

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 10.130.136.0/22 を、プレフィックス /29 の等しいサブネットに分割します。サブネットはいくつ N ありますか？

10.130.136.0/22/29

N =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.214.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 30 ホスト, B: 14 ホスト, C: 110 ホスト, D: 34 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN B のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 30B: 14C: 110D: 34

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 199

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

57 = 0011 1001

反転後: 1100 0110

+1 → 1100 0111

符号なしとして読む

1100 0111₂ = 256 − 57 = 199

答え

U = 199

2.記数法

答え: N = −32768

最も負の値

−2¹⁵ = −32768

答え

N = −32768

3.命題論理と証明

答え: b → (a → c)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

移出律：(a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)。どちらも a = 1、b = 1、c = 0 のときだけ 0 です。

(b ∧ a) → c ≡ b → (a → c)

真理値表で確かめる

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 0

a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 1 0 1 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

答え

b → (a → c)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

答え

∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 6

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = A′B′C′ + A′B + AB′ + ABC

F = 1 の行

ABC = 000, 010, 011, 100, 101, 111

N = 6

答え

N = 6

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

JK フリップフロップ：00 は保持、01 はリセット（Q = 0）、10 はセット（Q = 1）、11 はトグルです。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

7: J = 0, K = 0 → Q = 0

変化を数える

0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: 10⁻¹ mod 59 = 6

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·10 (mod 59) と書けます。

r = 59, t = 0

r = 10, q = 5, t = 1

r = 9, q = 1, t = −5

r = 1, q = 9, t = 6

逆行列

1 ≡ 6·10 (mod 59)

x = 6

確認: 10·6 = 60 = 1·59 + 1

答え

10⁻¹ mod 59 = 6

8.整数論と合同式

答え: d = 7

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 5·11 = 55

φ(n) = 4·10 = 40

拡張ユークリッドの互除法

r = 40, t = 0

r = 23, q = 1, t = 1

r = 17, q = 1, t = −1

r = 6, q = 2, t = 2

r = 5, q = 1, t = −5

r = 1, q = 5, t = 7

秘密指数

d = 7

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 26 − 17 = 9

答え

k = 9

14.グラフ理論

答え: W = 32

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

CE (1): 取る

AB (6): 取る

DF (7): 取る

B · 172.32.0.1

19.IPv4 サブネット化

答え: N = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借りたビット

29 − 22 = 7

サブネット数

N = 2⁷ = 128

答え

N = 128

各 /29 サブネットには 2³ − 2 = 6 個の使えるホストがあります。

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 224

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

C: 110 ホスト → 2⁷ = 128 (/25)

D: 34 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

A: 30 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

B: 14 ホスト → 2⁴ = 16 (/28)

割り当て（大きい順）

C: .0 – .127

D: .128 – .191

A: .192 – .223

B: .224 – .239

答え

x = 224

LAN B：192.168.214.224/28。

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