コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−39 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −398 bit

U =

2.記数法むずかしい

12 ビットの 2 の補数で表せる最小（最も負の）整数 N はいくつですか？

12 bit

N =

3.命題論理と証明ふつう

(p ∧ q) → p は恒真式、矛盾、そのどちらでもない式のうちのどれですか？答えをクリックしてください。

(p ∧ q) → p

1恒真式
2矛盾（恒偽式）
3恒真でも矛盾でもない式

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∃x ∀y R(x, y) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(2, 3, 5) の最小の和積形（POS）を求めてください。和項（因数）N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 5)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

mod-100 カウンタは 100 個の異なる状態を数え上げなければなりません。必要なフリップフロップの最小個数 n はいくつですか？

N = 100

n =

7.整数論と合同式ふつう

65 を法とする 46 の逆元を求めてください：0 < x < 65 かつ 46·x ≡ 1 (mod 65) を満たす数 x です。

a = 46n = 65

46⁻¹ mod 65 =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 384 を RSA 公開鍵 (n, e) = (517, 7) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 517e = 7m = 384

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列に対するマージソートの再帰は何段階になりますか？

A約 n
B約 n / 2
C約 √n
D約 log₂ n

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

AO(n!)
BO(n² 2ⁿ)
CO(n³)
DO(2^n²)

11.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

A5 4 3 2 1
B1 2 4 5 3
C4 5 2 3 1
D4 2 5 1 3

12.データ構造むずかしい

セグメント木は一般的に何に使われますか。

A各接頭辞を別々の木のノードに格納することで、文字列をアルファベット順にソートする
Bスタックを実装する
C区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
Dグラフの辺を格納する

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 19 個の頂点と 24 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 19|E| = 24

k =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3

15.データベースと SQLふつう

並行するトランザクションが互いの未完了の変更を見ないことを意味する ACID 特性はどれですか？

A独立性（Isolation）
B原子性（Atomicity）
C永続性（Durability）
D可用性（Availability）

16.データベースと SQLむずかしい

本番環境のクエリで NATURAL JOIN が危険とされるのはなぜですか？

A常に直積を返すから
B同じ名前のすべての列で結合するため、新しい列が追加されると結果が知らないうちに変わりうるから
C主キーと外部キーを無視し、NULL の行だけを残すから
Dどのデータベースでもサポートされていないから

17.コンピュータネットワークふつう

ホスト 192.168.10.77/26 のネットワークアドレスは何ですか？

A192.168.10.0
B192.168.10.128
C192.168.10.64
D192.168.10.76

18.コンピュータネットワークむずかしい

アドレス不足への対策として IPv6 に NAT が不要なのはなぜですか？

AIPv6 はアドレスを使わないから
B128 ビットのアドレス空間が十分に大きく、すべてのデバイスにグローバルアドレスを割り当てられるから
CIPv6 はローカルネットワークでしか動作せず、アドレスをグローバルに共有する必要が決してないから
DIPv6 はすべてのアドレスを暗号化するから

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 149 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

149 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.3.163.0/24, 10.3.164.0/24, 10.3.165.0/24, 10.3.166.0/24, 10.3.167.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.3.163.0/24 … 10.3.167.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: U = 217

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

39 = 0010 0111

反転後: 1101 1000

+1 → 1101 1001

符号なしとして読む

1101 1001₂ = 256 − 39 = 217

答え

U = 217

2.記数法

答え: N = −2048

最も負の値

−2¹¹ = −2048

答え

N = −2048

3.命題論理と証明

答え: 恒真式

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

真理値表を行ごとに見る

p = 1, q = 1: p ∧ q = 1, (p ∧ q) → p = 1

p = 1, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

p = 0, q = 1: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

p = 0, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1

分類

(p ∧ q) → p: 1, 1, 1, 1

すべての行で 1：恒真式です。

答え

恒真式

4.命題論理と証明

答え: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答え

∀x ∃y ¬R(x, y)

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

0 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

(B + C)

(A + B)

(A′ + B′)

最小の POS 形

F = (B + C)(A + B)(A′ + B′)

N = 3

答え

N = 3

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: n = 7

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

フリップフロップの個数

2ⁿ ≥ 100 → n = 7 (2⁷ = 128)

答え

n = 7

7.整数論と合同式

答え: 46⁻¹ mod 65 = 41

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·46 (mod 65) と書けます。

r = 65, t = 0

r = 46, q = 1, t = 1

r = 19, q = 2, t = −1

r = 8, q = 2, t = 3

r = 3, q = 2, t = −7

r = 2, q = 1, t = 17

r = 1, q = 2, t = −24

逆行列

1 ≡ −24·46 (mod 65)

x = 41

確認: 46·41 = 1886 = 29·65 + 1

答え

46⁻¹ mod 65 = 41

8.整数論と合同式

答え: c = 153

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

7 = 4 + 2 + 1

384¹ ≡ 384 (mod 517)

C · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する

13.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

19 − 1 = 18

取り除く辺

k = 24 − 18 = 6

答え

k = 6

14.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 12, C: 8

2. C (8)

3. B (12): D: 16, E: 19

4. D (16): F: 31

5. E (19): F: 25

IPv6 には約 3.4 × 10³⁸ 個のアドレスがあるため、IPv4 で NAT が必要になったアドレス不足は解消されます。セキュリティは引き続きファイアウォールが担います。

答え

B · 128 ビットのアドレス空間が十分に大きく、すべてのデバイスにグローバルアドレスを割り当てられるから

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 24

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2⁷ − 2 = 126 < 149

2⁸ − 2 = 254 ≥ 149 → h = 8

プレフィックス長

p = 32 − 8 = 24

答え

p = /24

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 21

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

163 = 10100011

167 = 10100111

共通する先頭のビット：5

プレフィックス長

p = 16 + 5 = 21

答え

p = /21

集約経路：10.3.160.0/21 （リストにない 3 個のネットワークもカバーします）。

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