記数法
- 位取り
- 2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
- 10 進数へ
- Σ dk·bk
- 10 進数から
- 基数で割り、余りを下から上へ読む
- 16 進数 ↔ 2 進数
- 16 進数 1 桁 = 4 ビット
- 2 の補数
- ビットを反転して 1 を足す
コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
命題論理と証明
- 真理値表の行
- 2ⁿ
- 含意
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 含意の否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 同値（双条件）
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- ド・モルガンの法則
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配法則
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量化子の否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
解き方
- 異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
- 部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
- 各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
- 同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
- 量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。
デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
- 基本ゲート
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- ブールの規則
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- ド・モルガンの法則
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- カルノー図の並び順
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ 個のセルのグループ
- k 個の変数が消える
- 4 対 1 マルチプレクサ
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- フリップフロップ
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- カウンタ
- n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
- リップルカウンタ
- fmax = 1/(n·tpd)
- リングカウンタとジョンソンカウンタ
- n 状態と 2n 状態
解き方
- 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
- 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
- 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
- フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。
整数論と合同式
- 余りのある割り算
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ユークリッド
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆行列
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 一次合同式
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- オイラーのトーシェント関数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- フェルマー
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
解き方
- まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
- 最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
- 逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
- a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
- べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。
グラフ理論
- 握手補題
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全グラフ
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正則グラフ
- |E| = n·k/2
- 木と森
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 木の葉
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- オイラー
- 閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
- Kn のハミルトン閉路
- (n − 1)!/2
- ダイクストラ法の更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 長さ L の歩道
- (Mᴸ)ij
解き方
- 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
- オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
- 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
- ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
- 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。
IPv4 サブネット化
- サブネットあたりのホスト数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ブロックサイズ
- 256 − (mask octet)
- ネットワークアドレス
- IP AND マスク
- ブロードキャストアドレス
- IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
- n ビット借りたときのサブネット数
- 2n
2演習問題
1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数で −35 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？
N = −358 bit
U =
2.記数法むずかしい
ビットを 1010 0101 AND 0011 1010 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？
1010 0101AND0011 1010
R =
3.命題論理と証明ふつう
q → p と論理的に同値な論理式はどれですか？ クリックしてください。
q → p
- 1¬q ∧ p
- 2¬q → ¬p
- 3p → q
- 4¬q ∨ p
4.命題論理と証明むずかしい
否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∃y R(x, y) と同値な主張はどれですか？ クリックしてください。
¬∀x ∃y R(x, y)
- 1∃y ∀x ¬R(x, y)
- 2∃x ∀y ¬R(x, y)
- 3∀x ∃y ¬R(x, y)
- 4∀x ∀y ¬R(x, y)
5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。
F = Σm(3, 4, 9, 11, 15)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 10, 11, 13, 15) + d(4, 8) について、必須主項の個数 N を求めてください。
F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 10, 11, 13, 15) + d(4, 8)
N =
7.整数論と合同式ふつう
19 を法とする 12 の逆元を求めてください：0 < x < 19 かつ 12·x ≡ 1 (mod 19) を満たす数 x です。
a = 12n = 19
12−1 mod 19 =
8.整数論と合同式むずかしい
28x ≡ 18 (mod 30) は、{0, 1, …, 29} の中にいくつ解 N をもちますか？
28x ≡ 18 (mod 30)
N =
9.アルゴリズムと計算量ふつう
安定（stable）なソートアルゴリズムはどれですか？
- Aヒープソート
- Bマージソート
- Cクイックソート（一般的なインプレース版）
- D選択ソート（一般的な版）
10.アルゴリズムと計算量むずかしい
クラス NP の定義として正しいものはどれですか？
- A証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
- B多項式時間で解けない問題
- C多項式でない問題
- Dどのアルゴリズムでも解けない問題
11.データ構造ふつう
二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。
- Aより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
- Bヒープ全体を一から作り直す
- C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
- D根に置き、下へ移動させる（sift down）
12.データ構造むずかしい
隣接行列として格納された V 頂点のグラフに対する幅優先探索の実行時間はどれですか。
- AO(V²)
- BO(V)
- CO(V + E)
- DO(E log V)
13.グラフ理論ふつう
この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。
|V| = 5|E| = 5
- 1オイラー閉路
- 2オイラー路あり、閉路なし
- 3どちらでもない
14.グラフ理論むずかしい
B を始点かつ終点とする、長さ 3 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。
M = 隣接行列L = 3
N =
15.データベースと SQLふつう
テーブルに col が NULL の行があります。WHERE col = NULL はどの行を返しますか？
- AIS NULL の場合と同様に、col が NULL の行だけ
- B比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない
- Cどのデータベースでもエラー
- Dテーブルのすべての行
16.データベースと SQLむずかしい
クエリ FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' が、注文のない顧客を思いがけず落としてしまいます。なぜですか？
- Ao に対する WHERE 条件が NULL で埋められた行を除外し、内部結合と同じになるから
- BLEFT JOIN は一致しない行を決して残さないから
- Cstatus が予約語だから
- D結合には ON ではなく USING を使うべきだから
17.コンピュータネットワークふつう
インターネット上で TCP コネクションの一方の端を一意に識別するものは何ですか？
- Aサブネットマスクとゲートウェイ
- BIP アドレスとポート番号の組
- Cドメイン名だけ
- DMAC アドレスだけ
18.コンピュータネットワークむずかしい
TCP の高速再送は何をしますか？
- A損失のたびにウィンドウを 2 倍にする
- Bタイムアウトを待たずに、3 つの重複 ACK の後でセグメントを再送する
- C念のためすべてのセグメントを 2 回ずつ再送する
- D既知のホストと再接続するときは 3 ウェイハンドシェイクを省略し、データをより早く再送する
19.IPv4 サブネット化ふつう
ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 12 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？
192.168.10.0/2412 subnets
H =
20.IPv4 サブネット化むずかしい
あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.251.108.0/24, 10.251.109.0/24, 10.251.110.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？
10.251.108.0/24 … 10.251.110.0/24
p =
3溶液
1.記数法
答え: U = 221
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
反転して 1 を足す
35 = 0010 0011
反転後: 1101 1100
+1 → 1101 1101
符号なしとして読む
1101 1101₂ = 256 − 35 = 221
答え
U = 221
2.記数法
答え: R = 32
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
ビットごとに
AND は、両方のビットが 1 のところだけ 1 になります。
1010 0101
AND 0011 1010
= 0010 0000
結果の値
0010 0000₂ = 32
答え
R = 32
3.命題論理と証明
答え: ¬q ∨ p
論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
法則
a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0 なので、¬a ∨ b と同じです。
q → p ≡ ¬q ∨ p
真理値表で確かめる
p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1
p = 1, q = 0: 1 | 1 0 0 1
p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 0 1 1 1
答え
¬q ∨ p
縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。
4.命題論理と証明
答え: ∃x ∀y ¬R(x, y)
量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。
否定を内側へ移す
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
答え
∃x ∀y ¬R(x, y)
ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。
5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: AB = 01, CD = 00
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
各 1 の隣
隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。
m4: m5, m6, m0, m12 → 0
孤立した 1
m4 = A′BC′D′ → AB = 01, CD = 00
答え
AB = 01, CD = 00
6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: N = 1
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
主項
1 と X からつくれる最大のグループ。
B′CD′, BC′D, ACD, AB′D′, ABD, A′BC′, AB′C
必須主項
B′CD′
N = 1
答え
N = 1
7.整数論と合同式
答え: 12−1 mod 19 = 8
逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
拡張ユークリッドの互除法
各余り r は r ≡ t·12 (mod 19) と書けます。
r = 19, t = 0
r = 12, q = 1, t = 1
r = 7, q = 1, t = −1
r = 5, q = 1, t = 2
r = 2, q = 2, t = −3
r = 1, q = 2, t = 8
逆行列
1 ≡ 8·12 (mod 19)
x = 8
確認: 12·8 = 96 = 5·19 + 1
答え
12−1 mod 19 = 8
8.整数論と合同式
答え: N = 2
逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
gcd で割る
gcd(28, 30) = 2
14x ≡ 9 (mod 15)
簡約した合同式を解く
14−1 ≡ 14 (mod 15) → x ≡ 6 (mod 15)
30 を法とする解
x ∈ {6, 21}
N = 2
答え
N = 2
9.アルゴリズムと計算量
答え: B · マージソート
これが答えになる理由
マージソートは、値が等しいときに左半分から先に取り出すようにマージすれば安定です。インプレースのクイックソート、ヒープソート、選択ソートは通常安定ではありません。
答え
B · マージソート
10.アルゴリズムと計算量
答え: A · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
これが答えになる理由
NP の問題では、たとえば与えられた割り当てがブール式を充足することの確認のように、提案された解（証拠）をすばやく検証できます。
答え
A · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
11.データ構造
答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
これが答えになる理由
末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。
答え
C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
12.データ構造
答え: A · O(V²)
これが答えになる理由
V 個の頂点のそれぞれが V 個の要素の行を走査するので O(V²) になります。隣接リストを使えば BFS は O(V + E) です。
答え
A · O(V²)
13.グラフ理論
答え: オイラー閉路
オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。
次数
deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2
奇数次数の頂点
0
オイラー閉路
答え
オイラー閉路
14.グラフ理論
答え: N = 4
次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。
隣接行列
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
もう 1 歩
(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 2·1 + 1·0 + 1·1 + 1·0 = 4
答え
N = 4
15.データベースと SQL
答え: B · 比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない
これが答えになる理由
= を使った NULL とのどんな比較も UNKNOWN になり、WHERE は TRUE の行だけを残します。代わりに col IS NULL を使います。
答え
B · 比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない
16.データベースと SQL
答え: A · o に対する WHERE 条件が NULL で埋められた行を除外し、内部結合と同じになるから
これが答えになる理由
一致しない行は o.status が NULL なので、WHERE の判定が TRUE になりません。条件を ON 句に移せば、すべての顧客が残ります。
答え
A · o に対する WHERE 条件が NULL で埋められた行を除外し、内部結合と同じになるから
17.コンピュータネットワーク
答え: B · IP アドレスとポート番号の組
これが答えになる理由
TCP コネクションは、送信元の IP とポート、宛先の IP とポートで識別されます。ポートは 1 台のホスト上の多数のアプリケーションを区別します。
答え
B · IP アドレスとポート番号の組
18.コンピュータネットワーク
答え: B · タイムアウトを待たずに、3 つの重複 ACK の後でセグメントを再送する
これが答えになる理由
3 つの重複 ACK は 1 つのセグメントが失われたことを強く示すため、TCP はそれをすぐに再送します。再送タイマーを待つよりずっと速く回復できます。
答え
B · タイムアウトを待たずに、3 つの重複 ACK の後でセグメントを再送する
19.IPv4 サブネット化
答え: H = 14
IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。 例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。
借りるビット数
24 = 16 ≥ 12 → b = 4, /28
サブネットあたりのホスト数
24 − 2 = 14
答え
H = 14
20.IPv4 サブネット化
答え: p = 22
経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。
ビットを比べる
108 = 01101100
110 = 01101110
共通する先頭のビット：6
プレフィックス長
p = 16 + 6 = 22
答え
p = /22
集約経路：10.251.108.0/22 （リストにない 1 個のネットワークもカバーします）。
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