コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −11 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −118 bit

U =

2.記数法むずかしい

非圧縮の画像が 1024 × 768 ピクセル、1 ピクセルあたり 8 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

1024 × 768 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命題論理と証明ふつう

q ∧ ¬q は恒真式、矛盾、そのどちらでもない式のうちのどれですか？答えをクリックしてください。

q ∧ ¬q

1恒真式
2矛盾（恒偽式）
3恒真でも矛盾でもない式

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∃y R(x, y) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∃y ∀x ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 5, 7) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 5, 7)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの JK フリップフロップが Q = 0 から始まり、6 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0JK

N =

7.整数論と合同式ふつう

x ≡ 3 (mod 5) かつ x ≡ 10 (mod 11) を満たす最小の正の整数 x を求めてください。

x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 10 (mod 11)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

43 は素数です。フェルマーの小定理を使って 30⁵⁵⁶⁰ mod 43 を求めてください。

p = 43k = 5560

30⁵⁵⁶⁰ mod 43 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

A可能なすべての解を試す
B常に最適解を与える
C各ステップで局所的に最良の選択をする
D再帰のみを使用する

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

カラツバ乗算は T(n) = 3T(n/2) + O(n) を満たします。この解は何ですか？

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585
CΘ(n²)
DΘ(n log n)

11.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

A1
Blog₂ n
Cn（連結リストのようになる）
D√n

12.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

A分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
B再平衡化が不要だから
Cどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
Dデータをソートせずに格納するから

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

顧客ごとの注文数を返すクエリはどれですか？

ASELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
DSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders

16.データベースと SQLむずかしい

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales は何を計算しますか？

Aすべての行に全 amount の合計
Bその日の合計だけを持つ、1 日 1 行
C1 日あたりの平均 amount
Dday の順に並べた amount の累計

17.コンピュータネットワークふつう

ホスト 192.168.10.77/26 のネットワークアドレスは何ですか？

A192.168.10.64
B192.168.10.0
C192.168.10.128
D192.168.10.76

18.コンピュータネットワークむずかしい

192.168.1.0/24 を、それぞれ最大 25 ホストの少なくとも 5 つのサブネットに分けなければなりません。最も適したプレフィックス長はどれですか？

A/25
B/26
C/27
D/28

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 8 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.44.89/25 です。そのサブネットのブロードキャストアドレスの最後の数（第 4 オクテット）x はいくつですか？

10.20.44.89/25

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 245

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

11 = 0000 1011

反転後: 1111 0100

+1 → 1111 0101

符号なしとして読む

1111 0101₂ = 256 − 11 = 245

答え

U = 245

2.記数法

答え: M = 768 KiB

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットとバイト

1024·768·8 = 6291456 bit = 786432 B

KiB に換算する

786432/1024 = 768 KiB

答え

M = 768 KiB

3.命題論理と証明

答え: 矛盾（恒偽式）

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

真理値表を行ごとに見る

q = 1: ¬q = 0, q ∧ ¬q = 0

q = 0: ¬q = 1, q ∧ ¬q = 0

分類

q ∧ ¬q: 0, 0

すべての行で 0：矛盾です。

答え

矛盾（恒偽式）

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答え

∃x ∀y ¬R(x, y)

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

A′B

AB′

最小の SOP 形

F = BC + A′B + AB′

N = 3

答え

N = 3

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

JK フリップフロップ：00 は保持、01 はリセット（Q = 0）、10 はセット（Q = 1）、11 はトグルです。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 0, K = 0 → Q = 0

3: J = 0, K = 0 → Q = 0

4: J = 0, K = 0 → Q = 0

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

変化を数える

0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 2

答え

N = 2

7.整数論と合同式

答え: x = 43

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

1 番目の合同式

x = 3 + 5k

2 番目の合同式

3 + 5k ≡ 10 (mod 11) → 5k ≡ 7 (mod 11)

k ≡ 9·7 ≡ 8 (mod 11)

結果

x = 3 + 5·8 = 43

x = 43

確認: 43 mod 5 = 3, 43 mod 11 = 10

答え

x = 43

8.整数論と合同式

答え: 30⁵⁵⁶⁰ mod 43 = 25

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

A · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

13.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

A, E → 2

オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

14.グラフ理論

答え: d(F) = 18

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 6, C: 1

C (1): E: 12, G: 13

B (6): D: 11

D (11): F: 24

E (12): F: 18

G (13)

F (18)

最短経路

A → C → E → F

借りるビット数

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

サブネットあたりのホスト数

2⁵ − 2 = 30

答え

H = 30

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 127

ブロックサイズ

2⁷ = 128

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊89/128⌋·128 = 0

ブロードキャスト: 0 + 128 − 1 = 127

使えるホスト: 1 … 126

答え

x = 127

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