コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−47 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −478 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1000 1110 XOR 0100 1010 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1000 1110XOR0100 1010

R =

3.命題論理と証明ふつう

b → (c ∧ a) を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

b → (c ∧ a)

1b ∧ ¬(c ∧ a)
2¬b → ¬(c ∧ a)
3¬(c ∧ a) → ¬b
4(c ∧ a) → b

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∃y R(x, y) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6, 7) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6, 7)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 13) + d(2, 10, 11) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 6, 8, 13) + d(2, 10, 11)

N =

7.整数論と合同式ふつう

29 を法とする 6 の逆元を求めてください：0 < x < 29 かつ 6·x ≡ 1 (mod 29) を満たす数 x です。

a = 6n = 29

6⁻¹ mod 29 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 5、q = 37、e = 23 を使います。暗号文 c = 26 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 5q = 37e = 23c = 26

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

AO(n)
BO(1)
CO(n log n)
DO(log n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ある NP 完全問題に対する多項式時間アルゴリズムを誰かが見つけたら、何が導かれますか？

Aその 1 つの問題だけが P に移る
BNP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
C停止問題が決定可能になる
Dすべての指数時間アルゴリズムがただちに線形時間で動くようになる

11.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

12.データ構造むずかしい

サーバーがハッシュ関数を万能（universal）族からランダムに選ぶのはなぜですか。

Aテーブルのサイズを変更する必要をなくすため
Bハッシュテーブルをソートされた状態にするため
C攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
D攻撃者がどのようなキーを送っても、2 つのキーが決して衝突しないことを保証するため

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 2

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BC
4辺 BD
5辺 CE
6辺 DE
7辺 BE

15.データベースと SQLふつう

テーブルにクラスタ化インデックスが 1 つしか持てないのはなぜですか？

Aクラスタ化インデックスは主キーにしか作れないから
B行は物理的に 1 つの順序でしか格納できないから
CSQL 標準が、1 つのテーブルに 2 つ以上のインデックスを持つことを禁止しているから
Dクラスタ化インデックスはメモリを使いすぎるから

16.データベースと SQLむずかしい

SELECT dept, name, COUNT(*) FROM emp GROUP BY dept が標準 SQL で無効なのはなぜですか？

Adept は集約関数の中に入れなければならないから
BCOUNT(*) は GROUP BY と一緒に使えないから
Cname はグループ化も集約もされておらず、グループごとに 1 つの値を持たないから
DGROUP BY にはテーブルのすべての列を並べなければならないから

17.コンピュータネットワークふつう

インターネット上で TCP コネクションの一方の端を一意に識別するものは何ですか？

Aドメイン名だけ
BIP アドレスとポート番号の組
CMAC アドレスだけ
Dサブネットマスクとゲートウェイ

18.コンピュータネットワークむずかしい

8 ポートのスイッチ（VLAN なし）の各ポートに 1 台ずつホストがあります。コリジョンドメインとブロードキャストドメインはいくつありますか？

Aコリジョンドメイン 8、ブロードキャストドメイン 8
Bコリジョンドメイン 1、ブロードキャストドメイン 1
Cコリジョンドメイン 8、ブロードキャストドメイン 1
Dコリジョンドメイン 1、ブロードキャストドメイン 8

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 1913 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

1913 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.70.64/30 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.70.64/30

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 209

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

47 = 0010 1111

反転後: 1101 0000

+1 → 1101 0001

符号なしとして読む

1101 0001₂ = 256 − 47 = 209

答え

U = 209

2.記数法

答え: R = 196

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

1000 1110

XOR 0100 1010

= 1100 0100

結果の値

1100 0100₂ = 196

答え

R = 196

3.命題論理と証明

答え: ¬(c ∧ a) → ¬b

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = b, b = c ∧ a

対偶

¬b → ¬a = ¬(c ∧ a) → ¬b

答え

¬(c ∧ a) → ¬b

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答え

∃x ∀y ¬R(x, y)

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

最小の SOP 形

F = BC + AC + AB

N = 3

答え

N = 3

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′C, A′CD′, A′BD′, AB′D′, ABC′D

最小被覆

F = B′C + A′BD′ + AB′D′ + ABC′D

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: 6⁻¹ mod 29 = 5

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·6 (mod 29) と書けます。

r = 29, t = 0

r = 6, q = 4, t = 1

r = 5, q = 1, t = −4

r = 1, q = 5, t = 5

逆行列

1 ≡ 5·6 (mod 29)

x = 5

確認: 6·5 = 30 = 1·29 + 1

答え

6⁻¹ mod 29 = 5

8.整数論と合同式

答え: m = 121

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 185, φ(n) = 144

d = 23⁻¹ mod 144 = 119

反復二乗法で復号する

119 = 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1

26¹ ≡ 26 (mod 185)

26² ≡ 121 (mod 185)

26⁴ ≡ 26 (mod 185)

26⁸ ≡ 121 (mod 185)

26¹⁶ ≡ 26 (mod 185)

26³² ≡ 121 (mod 185)

26⁶⁴ ≡ 26 (mod 185)

26¹¹⁹ ≡ 26·121·26·26·121·26 ≡ 121 (mod 185)

メッセージ

m = 121

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

A, C, D, E → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

14.グラフ理論

答え: 辺 BC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AC (2)

2. BC (8)

3. BD (6)

4. DE (11)

スイッチの各ポートはそれぞれ独立したコリジョンドメインですが、ブロードキャストはすべてのポートに転送されるため、スイッチ全体で 1 つのブロードキャストドメインです。ハブならどちらも 1 つになります。

答え

C · コリジョンドメイン 8、ブロードキャストドメイン 1

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 21

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1913

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1913 → h = 11

プレフィックス長

p = 32 − 11 = 21

答え

p = /21

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 66

ブロックサイズ

2² = 4

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊64/4⌋·4 = 64

ブロードキャスト: 64 + 4 − 1 = 67

使えるホスト: 65 … 66

答え

x = 66

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