コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −32 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −328 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 0001 1000 OR 0001 1011 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0001 1000OR0001 1011

R =

3.命題論理と証明ふつう

(q ∨ p) → r を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

(q ∨ p) → r

1¬r → ¬(q ∨ p)
2(q ∨ p) ∧ ¬r
3r → (q ∨ p)
4¬(q ∨ p) → ¬r

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 7) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 7)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 8, 13, 15) + d(3, 10, 12) について、必須主項の個数 N を求めてください。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 8, 13, 15) + d(3, 10, 12)

N =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(325)、つまり 1 から 325 までの整数のうち 325 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 325 = 5²·13

φ(325) =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 135 を RSA 公開鍵 (n, e) = (299, 17) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 299e = 17m = 135

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

AO(log n)
BO(n log n)
CO(1)
DO(n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

Aいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
Bいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
Cはい。したがって下界は誤りである
Dはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る

11.データ構造ふつう

あるアプリケーションには高速な検索が必要で、さらにキーをソート順に一覧にしたり、範囲クエリに答えたりする必要もあります。最も適した構造はどれですか。

A平衡二分探索木
Bソートされていない連結リスト
Cハッシュテーブル
Dスタック

12.データ構造むずかしい

ソート済み連結リストと比べたスキップリストの主な利点は何ですか。

Aキーを順序なしで格納する
B追加のメモリを使わない
C複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
Dすべてのノードが他のすべてのノードへのポインタを持つので、O(1) の探索が保証される

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 20 個の頂点と 25 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 20|E| = 25

k =

14.グラフ理論むずかしい

D を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2

N =

15.データベースと SQLふつう

employees テーブルには、別の従業員を参照する manager_id 列があります。各従業員をその上司の名前と並べて一覧にするにはどうしますか？

Aディスク上にテーブルの 2 つ目のコピーを作る
B2 つの別名を使って employees テーブルをそれ自身と結合する
CUNION ALL と WHERE フィルターを使って、テーブルをそれ自身と結合する
Dmanager_id だけで GROUP BY を使う

16.データベースと SQLむずかしい

(last_name, first_name) に複合インデックスがあります。それを最も効果的に使える条件はどれですか？

AWHERE last_name = 'Jansen'
BWHERE first_name LIKE '%a'
CWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
DWHERE first_name = 'Eva'

17.コンピュータネットワークふつう

IPv6 のループバックアドレスは何ですか？

A::
B::1
Cfe80::1
Dff02::1

18.コンピュータネットワークむずかしい

ある経路の帯域幅は 100 Mbit/s、往復時間は 40 ms です。経路を十分に使い切るには、どれだけのデータを送信中にしておく必要がありますか？

A500 kB
B50 kB
C4 kB
D2.5 MB

19.IPv4 サブネット化ふつう

あるサブネットはマスク 255.255.252.0 を使っています。使えるホストアドレスはいくつ H ありますか？

255.255.252.0

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.123.180/26 です。そのサブネットのブロードキャストアドレスの最後の数（第 4 オクテット）x はいくつですか？

10.20.123.180/26

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 224

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

32 = 0010 0000

反転後: 1101 1111

+1 → 1110 0000

符号なしとして読む

1110 0000₂ = 256 − 32 = 224

答え

U = 224

2.記数法

答え: R = 27

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

0001 1000

OR 0001 1011

= 0001 1011

結果の値

0001 1011₂ = 27

答え

R = 27

3.命題論理と証明

答え: ¬r → ¬(q ∨ p)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = q ∨ p, b = r

対偶

¬b → ¬a = ¬r → ¬(q ∨ p)

答え

¬r → ¬(q ∨ p)

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答え

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

B′C′

最小の SOP 形

F = B′C′ + BC

N = 2

答え

N = 2

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

C′D′, AB′D′, ABD, ABC′

必須主項

C′D′, ABD

N = 2

答え

N = 2

7.整数論と合同式

答え: φ(325) = 240

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

325 = 5²·13

トーシェント関数

φ(325) = φ(25)·φ(13) = 20·12 = 240

答え

φ(325) = 240

8.整数論と合同式

答え: c = 122

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

17 = 16 + 1

135¹ ≡ 135 (mod 299)

135² ≡ 285 (mod 299)

135⁴ ≡ 196 (mod 299)

C · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる

13.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

20 − 1 = 19

取り除く辺

k = 25 − 19 = 6

答え

k = 6

14.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

A · 500 kB

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

プレフィックス長

255.255.252.0 = /22

使えるホスト数

2¹⁰ − 2 = 1022

答え

H = 1022

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 191

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

ブロックサイズ

2⁶ = 64

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊180/64⌋·64 = 128

ブロードキャスト: 128 + 64 − 1 = 191

使えるホスト: 129 … 190

答え

x = 191

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