コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1100 1110 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1100 11108 bit

N =

2.記数法むずかしい

32 ビットの 2 の補数で表せる最小（最も負の）整数 N はいくつですか？

32 bit

N =

3.命題論理と証明ふつう

この論理式 (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) は、真理値表の 8 行のうち何行で真になりますか？この数を N とします。

(c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c))

N =

4.命題論理と証明むずかしい

前提 c ∨ b; ¬c が与えられています。そこから導かれる結論はどれですか？クリックしてください。

c ∨ b¬c

1¬b
2b
3c ∧ b
4c

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(0, 2, 3, 6, 7, 10, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 8, 9, 11, 12) + d(1, 7, 15) について、必須主項の個数 N を求めてください。

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 8, 9, 11, 12) + d(1, 7, 15)

N =

7.整数論と合同式ふつう

79 を法とする 40 の逆元を求めてください：0 < x < 79 かつ 40·x ≡ 1 (mod 79) を満たす数 x です。

a = 40n = 79

40⁻¹ mod 79 =

8.整数論と合同式むずかしい

反復二乗法を使って 35¹⁷⁶ mod 78 を求めてください。

a = 35k = 176n = 78

35¹⁷⁶ mod 78 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

A約 20 回
B約 500,000 回
C約 1,000 回
D約 100 回

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

AO(2^n²)
BO(n³)
CO(n!)
DO(n² 2ⁿ)

11.データ構造ふつう

実行中のプログラムが、有効な関数呼び出しとそのローカル変数を管理するために使うデータ構造はどれですか。

Aコールスタック
B関数のハッシュテーブル
Cヒープメモリのキュー
Dフレームの二分探索木

12.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

13.グラフ理論ふつう

木に次数 4 の頂点が 3 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 4

L =

14.グラフ理論むずかしい

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 5

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BD
4辺 CE
5辺 DE
6辺 DF
7辺 EF
8辺 BE

15.データベースと SQLふつう

列にインデックスを作成するのはなぜですか？

Aそれらの列に対する挿入と更新を高速化するため
Bディスク容量を節約するため
CNULL 値を防ぐため
Dその列に対する検索や結合を高速化するため

16.データベースと SQLむずかしい

次のクエリは何を返しますか：SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)

A最高点の学生のみ
B全学生の平均点
CWHERE ではサブクエリが使えないためエラー
D成績が平均点を上回る学生

17.コンピュータネットワークふつう

1500 バイトのパケットを 12 Mbit/s のリンクに送り出すのにどれだけかかりますか（伝送遅延）？

A12 ms
B8 ms
C0.125 ms
D1 ms

18.コンピュータネットワークむずかしい

TCP コネクションを先に閉じた側が、最大セグメント生存時間の 2 倍の間 TIME_WAIT 状態にとどまるのはなぜですか？

A暗号鍵を後で再利用できるよう保持するため
B経路上のルーターが、次のコネクションに備えてルーティングテーブルを更新できるようにするため
CDNS キャッシュの期限切れを待つため
D遅れたセグメントが消滅し、最後の ACK が失われた場合に再送できるようにするため

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 8 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.108.101/28 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.108.101/28

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −50

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 8 + 4 + 2 = −50

答え

N = −50

2.記数法

答え: N = −2.147 × 10⁹

最も負の値

−2³¹ = −2147483648

答え

N = −2147483648

3.命題論理と証明

答え: N = 5

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

真理値表を行ごとに見る

a = 1, b = 1, c = 1: ¬a = 0, c ∨ ¬a = 1, b → a = 1, b ∧ c = 1, ¬(b ∧ c) = 0, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 0, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬a = 0, c ∨ ¬a = 0, b → a = 1, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 1, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: ¬a = 0, c ∨ ¬a = 1, b → a = 1, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 1, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬a = 0, c ∨ ¬a = 0, b → a = 1, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 1, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, b → a = 0, b ∧ c = 1, ¬(b ∧ c) = 0, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 0, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, b → a = 0, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 0, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, b → a = 1, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 1, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, b → a = 1, b ∧ c = 0, ¬(b ∧ c) = 1, (b → a) ∧ ¬(b ∧ c) = 1, ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0, (c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)) = 0

値が 1 の行を数える

(c ∨ ¬a) → ¬((b → a) ∧ ¬(b ∧ c)): 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0

N = 5

答え

N = 5

4.命題論理と証明

答え: b

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

すべての前提が真の行

b = 1, c = 0: ¬b = 0, b = 1, c ∧ b = 0, c = 0

結論

b (選言三段論法)

答え

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 11, CD = 01

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m13: m12, m15, m9, m5 → 0

孤立した 1

m13 = ABC′D → AB = 11, CD = 01

答え

AB = 11, CD = 01

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

CD, B′D, A′D, AC′D′, AB′C′

必須主項

A′D, AC′D′

N = 2

答え

N = 2

7.整数論と合同式

答え: 40⁻¹ mod 79 = 2

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·40 (mod 79) と書けます。

r = 79, t = 0

r = 40, q = 1, t = 1

r = 39, q = 1, t = −1

r = 1, q = 39, t = 2

逆行列

1 ≡ 2·40 (mod 79)

x = 2

確認: 40·2 = 80 = 1·79 + 1

答え

40⁻¹ mod 79 = 2

8.整数論と合同式

答え: 35¹⁷⁶ mod 78 = 55

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

2 進数の指数

176 = 10110000₂ = 128 + 32 + 16

反復二乗法

35¹ ≡ 35 (mod 78)

35² ≡ 55 (mod 78)

35⁴ ≡ 61 (mod 78)

35⁸ ≡ 55 (mod 78)

35¹⁶ ≡ 61 (mod 78)

D · 60

13.グラフ理論

答え: L = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 12 = 2(L + 3) − 2

L = 8

答え

L = 8

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

14.グラフ理論

答え: 辺 EF

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. AC (4)

2. BD (6)

3. CE (10)

4. AB (11)

5. EF (12)

辺の番号 5

答え

D · 遅れたセグメントが消滅し、最後の ACK が失われた場合に再送できるようにするため

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 30

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

サブネットあたりのホスト数

2⁵ − 2 = 30

答え

H = 30

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 110

ブロックサイズ

2⁴ = 16

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊101/16⌋·16 = 96

ブロードキャスト: 96 + 16 − 1 = 111

使えるホスト: 97 … 110

答え

x = 110

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals