コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−73 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −738 bit

U =

2.記数法むずかしい

非圧縮の画像が 640 × 480 ピクセル、1 ピクセルあたり 32 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命題論理と証明ふつう

¬q → p を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

¬q → p

1¬p → ¬¬q
2p → ¬q
3¬q ∧ ¬p
4¬¬q → ¬p

4.命題論理と証明むずかしい

前提 a → c; b → c、結論 a → b の論証は妥当ではありません。反例となる真理値表の行をクリックしてください。

a → cb → c∴ a → b

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = 0、I₁ = 0、I₂ = 0、I₃ = 1 につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = 0I₁ = 0I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 9, 10, 13) + d(0, 7, 8, 12) の最小の SOP 形を求めてください。リテラル L はいくつ含まれますか？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 9, 10, 13) + d(0, 7, 8, 12)

L =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(18)、つまり 1 から 18 までの整数のうち 18 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 18 = 2·3²

φ(18) =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 11 と q = 23、公開指数 e = 13 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 11q = 23e = 13

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

AO(mn log n)
BO(m + n)
CO(2^m+n)
DO(mn)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

An! は O(n²) である
Bn! は 2ⁿ より速く増加する
C同じ速さで増加する
D2ⁿ は n! より速く増加する

11.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

12.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

Aハッシュ関数が必要であること
Bキーの値を読み取る O(n) のコスト
Cキーをテーブルに格納する必要があること
D使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 23 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 23

k =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 5 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 5

15.データベースと SQLふつう

テーブルに col が NULL の行があります。WHERE col = NULL はどの行を返しますか？

Aテーブルのすべての行
Bどのデータベースでもエラー
CIS NULL の場合と同様に、col が NULL の行だけ
D比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない

16.データベースと SQLむずかしい

多くの DBMS が、排他ロックをコミットまで保持する厳格な 2 相ロックを使うのはなぜですか？

Aトランザクションログを不要にするから
Bデッドロックを起こらなくするから
Cトランザクションがダーティなデータを安全に読めるようにするから
D誰も未コミットの書き込みを読めないので、連鎖的なアボートを防げるから

17.コンピュータネットワークふつう

「ウェルノウン」ポートとして予約されている TCP/UDP ポート番号の範囲はどれですか？

A1024–49151
B49152–65535
C0–1023
D0–65535

18.コンピュータネットワークむずかしい

TCP コネクションにおいて、受信ウィンドウ（rwnd）は何を制御しますか？

A開いているポートの数
B各セグメントの測定されたラウンドトリップ時間から計算される、再送タイムアウト
C受信側のバッファに基づき、送信側が送ってよい未確認データの量
D各 IP パケットのヘッダーのサイズ

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 10.50.160.0/20 を、プレフィックス /27 の等しいサブネットに分割します。サブネットはいくつ N ありますか？

10.50.160.0/20/27

N =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.50.25/28 です。そのネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.50.25/28

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 183

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

73 = 0100 1001

反転後: 1011 0110

+1 → 1011 0111

符号なしとして読む

1011 0111₂ = 256 − 73 = 183

答え

U = 183

2.記数法

答え: M = 1200 KiB

ビットとバイト

640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B

KiB に換算する

1228800/1024 = 1200 KiB

答え

M = 1200 KiB

3.命題論理と証明

答え: ¬p → ¬¬q

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = ¬q, b = p

対偶

¬b → ¬a = ¬p → ¬¬q

答え

¬p → ¬¬q

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: a = 1, b = 0, c = 1

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

前提と結論を行ごとに見る

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

反例

a = 1, b = 0, c = 1

答え

a = 1, b = 0, c = 1

この形の論証は妥当な規則のように見えますが、1 行あれば妥当でないことを示せます。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = AB

F = 1 の行

ABC = 110, 111

N = 2

答え

N = 2

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 11

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′C′, AC′, A′CD, A′B′D, AB′D′, A′BC

最小被覆

F = AC′ + A′B′D + AB′D′ + A′BC

L = 11

答え

L = 11

7.整数論と合同式

答え: φ(18) = 6

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

18 = 2·3²

トーシェント関数

φ(18) = φ(2)·φ(9) = 1·6 = 6

答え

φ(18) = 6

8.整数論と合同式

答え: d = 17

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 11·23 = 253

φ(n) = 10·22 = 220

拡張ユークリッドの互除法

r = 220, t = 0

r = 13, q = 16, t = 1

r = 12, q = 1, t = −16

r = 1, q = 12, t = 17

秘密指数

d = 17

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 23 − 17 = 6

答え

k = 6

14.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 14, C: 11

2. C (11): E: 12, G: 21

3. E (12): D: 17, F: 27

4. B (14): G: 18

5. D (17)

6. G (18)

受信側は空いているバッファ容量を通知し、送信側はそれに応じて未確認データを制限することで、受信側の過負荷を防ぎます。

答え

C · 受信側のバッファに基づき、送信側が送ってよい未確認データの量

19.IPv4 サブネット化

答え: N = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借りたビット

27 − 20 = 7

サブネット数

N = 2⁷ = 128

答え

N = 128

各 /27 サブネットには 2⁵ − 2 = 30 個の使えるホストがあります。

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 16

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

ブロックサイズ

2⁴ = 16

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊25/16⌋·16 = 16

ブロードキャスト: 16 + 16 − 1 = 31

使えるホスト: 17 … 30

答え

x = 16

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