コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

ブール代数：式を簡単にする規則は、X + X′ = 1 と X·X′ = 0、X + X = X、吸収則 X + X·Y = X、結合則 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y、そしてコンセンサス定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z です。ド・モルガンの法則は (X·Y)′ を X′ + Y′ に、(X + Y)′ を X′·Y′ に変えます。カルノー図はこれらの規則を図で適用するものです：隣り合う 2 つのセルのグループは、XY + XY′ = X を 1 回使うことに当たります。

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。