コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1111 1010 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1111 10108 bit

N =

2.記数法むずかしい

ビットを 0001 1010 >> 1 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0001 1010>> 1

R =

3.命題論理と証明ふつう

a ∨ (b ∧ c) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

a ∨ (b ∧ c)

1(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2(a ∨ b) ∧ c
3(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
4a ∧ (b ∨ c)

4.命題論理と証明むずかしい

前提 c ∨ b; ¬c ∨ a が与えられています。そこから導かれる結論はどれですか？クリックしてください。

c ∨ b¬c ∨ a

1b ∧ a
2b ∨ a
3¬b
4c ∨ a

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

F = AB′C + A′B′ + A′C′ を最小の積和形に簡単化してください。簡単化した式に含まれるリテラル L はいくつですか？

F = AB′C + A′B′ + A′C′

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの JK フリップフロップが Q = 0 から始まり、7 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0JK

N =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(343)、つまり 1 から 343 までの整数のうち 343 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 343 = 7³

φ(343) =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 17、q = 19、e = 11 を使います。暗号文 c = 6 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 17q = 19e = 11c = 6

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

A重複する部分問題と最適部分構造
Bランダムな入力のみ
C部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
Dループが一つだけ

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

Aループは避けるべきである
Bすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
Cすべてのプログラムはいずれ停止する
D一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから

11.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

A挿入順
B昇順
C常に降順
Dレベル順

12.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

Aスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
Bテーブルがソートされた状態になるから
C墓標がハッシュ計算を高速化するから
D安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₇ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₇

H =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

テーブルに col が NULL の行があります。WHERE col = NULL はどの行を返しますか？

Aテーブルのすべての行
B比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない
Cどのデータベースでもエラー
DIS NULL の場合と同様に、col が NULL の行だけ

16.データベースと SQLむずかしい

テーブル employee(emp_id, dept_id, dept_name) のキーは emp_id で、dept_id → dept_name です。正しい記述はどれですか？

A2NF ではない
B1NF ではない
CBCNF であり、したがって 3NF である
D2NF だが 3NF ではない

17.コンピュータネットワークふつう

ホスト 192.168.10.77/26 のネットワークアドレスは何ですか？

A192.168.10.76
B192.168.10.128
C192.168.10.64
D192.168.10.0

18.コンピュータネットワークむずかしい

標準的なイーサネット（Ethernet）のペイロードの最大転送単位（MTU）はいくつですか？

A64 バイト
B1500 バイト
C65,535 バイト
Dすべてのネットワークで 9000 バイト

19.IPv4 サブネット化ふつう

あるサブネットはマスク 255.255.255.192 を使っています。使えるホストアドレスはいくつ H ありますか？

255.255.255.192

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.193.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 20 ホスト, B: 107 ホスト, C: 5 ホスト, D: 19 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN A のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 20B: 107C: 5D: 19

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −6

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 = −6

答え

N = −6

2.記数法

答え: R = 13

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

1 だけ右にシフトすると、すべてのビットが 1 桁右へ動きます。右端からはみ出したビットは失われ、左側には 0 が入ります。

0001 1010 >> 1

= 0000 1101

結果の値

0000 1101₂ = 13

答え

R = 13

3.命題論理と証明

答え: (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

∨ は ∧ に対して分配します：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

真理値表で確かめる

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 0 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 0 0 1 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 0 1 1 0

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

答え

(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: b ∨ a

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

すべての前提が真の行

a = 1, b = 1, c = 1: b ∧ a = 1, b ∨ a = 1, ¬b = 0, c ∨ a = 1

a = 1, b = 1, c = 0: b ∧ a = 1, b ∨ a = 1, ¬b = 0, c ∨ a = 1

a = 1, b = 0, c = 1: b ∧ a = 0, b ∨ a = 1, ¬b = 1, c ∨ a = 1

a = 0, b = 1, c = 0: b ∧ a = 0, b ∨ a = 1, ¬b = 0, c ∨ a = 0

結論

b ∨ a (分解能)

答え

b ∨ a

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 4

ブール代数：式を簡単にする規則は、X + X′ = 1 と X·X′ = 0、X + X = X、吸収則 X + X·Y = X、結合則 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y、そしてコンセンサス定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z です。ド・モルガンの法則は (X·Y)′ を X′ + Y′ に、(X + Y)′ を X′·Y′ に変えます。カルノー図はこれらの規則を図で適用するものです：隣り合う 2 つのセルのグループは、XY + XY′ = X を 1 回使うことに当たります。

式の最小項

AB′C → m(5)

A′B′ → m(0, 1)

A′C′ → m(0, 2)

グループ化して読み取る

F = B′C + A′C′

リテラルを数える

L = 4

答え

L = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

JK フリップフロップ：00 は保持、01 はリセット（Q = 0）、10 はセット（Q = 1）、11 はトグルです。

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 1 → Q = 0

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 0 → Q = 0

6: J = 1, K = 1 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

変化を数える

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: φ(343) = 294

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

343 = 7³

トーシェント関数

φ(343) = 343 − 49 = 294

答え

φ(343) = 294

8.整数論と合同式

答え: m = 233

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 323, φ(n) = 288

d = 11⁻¹ mod 288 = 131

反復二乗法で復号する

131 = 128 + 2 + 1

6¹ ≡ 6 (mod 323)

6² ≡ 36 (mod 323)

6⁴ ≡ 4 (mod 323)

6⁸ ≡ 16 (mod 323)

6¹⁶ ≡ 256 (mod 323)

6³² ≡ 290 (mod 323)

6⁶⁴ ≡ 120 (mod 323)

6¹²⁸ ≡ 188 (mod 323)

6¹³¹ ≡ 6·36·188 ≡ 233 (mod 323)

メッセージ

m = 233

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360

14.グラフ理論

答え: d(F) = 20

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 10, C: 10

B (10): D: 16, E: 15

C (10)

E (15): F: 24

D (16): F: 20

F (20)

最短経路

A → B → D → F

プレフィックス長

255.255.255.192 = /26

使えるホスト数

2⁶ − 2 = 62

答え

H = 62

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 128

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

B: 107 ホスト → 2⁷ = 128 (/25)

A: 20 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

D: 19 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

C: 5 ホスト → 2³ = 8 (/29)

割り当て（大きい順）

B: .0 – .127

A: .128 – .159

D: .160 – .191

C: .192 – .199

答え

x = 128

LAN A：192.168.193.128/27。

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