コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −84 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −848 bit

U =

2.記数法むずかしい

あるシステムで、3225 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？

3225

b = bit

3.命題論理と証明ふつう

(r ∨ q) → p と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

(r ∨ q) → p

1(r → p) ∨ (q → p)
2(r → p) ∧ (q → p)
3(r ∧ q) → p
4r ∨ (q → p)

4.命題論理と証明むずかしい

前提 q → p; ¬q、結論 ¬p の論証は妥当ではありません。反例となる真理値表の行をクリックしてください。

q → p¬q∴ ¬p

1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15) の最小の和積形（POS）を求めてください。和項（因数）N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

4 ビット 2 進ダウンカウンタは 0（10 進数、Q = 0000）から始まります。22 クロックパルスのあとの計数値 Q（10 進数）はいくつですか？

Q₀ = 022n = 4

Q =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(119)、つまり 1 から 119 までの整数のうち 119 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 119 = 7·17

φ(119) =

8.整数論と合同式むずかしい

反復二乗法を使って 7¹⁹⁷ mod 72 を求めてください。

a = 7k = 197n = 72

7¹⁹⁷ mod 72 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ならし解析（amortised analysis）は何を測りますか？

A操作列のどこかにある、最もコストの高い 1 回の操作のコスト
B最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
C最良の入力に対するアルゴリズムのコスト
Dランダムな入力に対する期待コスト

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

An! は O(n²) である
Bn! は 2ⁿ より速く増加する
C同じ速さで増加する
D2ⁿ は n! より速く増加する

11.データ構造ふつう

隣接行列を使って辺 (u, v) が存在するかを調べるのにどれだけ時間がかかりますか。

AO(V)
BO(1)
CO(log V)
DO(E)

12.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

A要素ごとに作り直す二分探索木
B答えを待っている要素を保持するスタック
C要素のすべての組を保持するキュー
Dすべての要素のハッシュテーブル

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₆ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₆

H =

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.データベースと SQLふつう

HAVING について正しい記述はどれですか？

A集約関数を使ってグループを絞り込むことができる
BSELECT 文の中で WHERE より前に書かなければならない
CGROUP BY と一緒には使えない
D結果を並べ替える

16.データベースと SQLむずかしい

WHERE YEAR(order_date) = 2025 を含むクエリが order_date のインデックスを使わないことがあるのはなぜですか？

Aorder_date のインデックスは ORDER BY 句にしか使われず、WHERE には決して使われないから
Bインデックスは日付では決して機能しないから
CYEAR は有効な SQL ではないから
D列に関数を適用すると、単純なインデックス範囲検索ができなくなるから

17.コンピュータネットワークふつう

信号が光ファイバーの中を約 2 × 10⁸ m/s で 2000 km 進みます。伝搬遅延はどれだけですか？

A10 ms
B0.1 ms
C1 ms
D100 ms

18.コンピュータネットワークむずかしい

次のうち、グローバル（RFC 1918 のプライベートではない）IPv4 アドレスはどれですか？

A172.31.0.1
B10.255.0.1
C172.32.0.1
D192.168.255.1

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 63 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

63 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.62.125.0/24, 10.62.126.0/24, 10.62.127.0/24, 10.62.128.0/24, 10.62.129.0/24, 10.62.130.0/24, 10.62.131.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.62.125.0/24 … 10.62.131.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: U = 172

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

84 = 0101 0100

反転後: 1010 1011

+1 → 1010 1100

符号なしとして読む

1010 1100₂ = 256 − 84 = 172

答え

U = 172

2.記数法

答え: b = 12 bit

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

2 のべき乗

2¹¹ = 2048 < 3225

2¹² = 4096 ≥ 3225

答え

b = 12

3.命題論理と証明

答え: (r → p) ∧ (q → p)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

(a ∨ b) → c は、a か b のどちらかが成り立つたびに c を必要とします：(a → c) ∧ (b → c)。

(r ∨ q) → p ≡ (r → p) ∧ (q → p)

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 1 0 1 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 0 1 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答え

(r → p) ∧ (q → p)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: p = 1, q = 0

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

前提と結論を行ごとに見る

p = 1, q = 1: 1 0 | 0

p = 1, q = 0: 1 1 | 0

p = 0, q = 1: 0 0 | 1

p = 0, q = 0: 1 1 | 1

反例

p = 1, q = 0

答え

p = 1, q = 0

この形の論証は妥当な規則のように見えますが、1 行あれば妥当でないことを示せます。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

0 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

(B + C + D′)

(A′ + C + D′)

(A′ + B + D′)

(A + B′ + C + D)

最小の POS 形

F = (B + C + D′)(A′ + C + D′)(A′ + B + D′)(A + B′ + C + D)

N = 4

答え

N = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 10

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

完全な周期

16 パルスごとに、カウンタは同じ状態に戻ります。

22 = 1·16 + 6

残りのパルスのあとの計数値

Q = (0 − 6) mod 16 = 10

Q = 1010₂

答え

Q = 10

7.整数論と合同式

答え: φ(119) = 96

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

119 = 7·17

トーシェント関数

φ(119) = φ(7)·φ(17) = 6·16 = 96

答え

φ(119) = 96

8.整数論と合同式

答え: 7¹⁹⁷ mod 72 = 31

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

2 進数の指数

197 = 11000101₂ = 128 + 64 + 4 + 1

反復二乗法

7¹ ≡ 7 (mod 72)

7² ≡ 49 (mod 72)

7⁴ ≡ 25 (mod 72)

7⁸ ≡ 49 (mod 72)

7¹⁶ ≡ 25 (mod 72)

B · 答えを待っている要素を保持するスタック

13.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60

14.グラフ理論

答え: W = 46

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (1): 取る

DE (6): 取る

EF (10): 飛ばす（閉路ができる）

C · 172.32.0.1

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 25

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2⁶ − 2 = 62 < 63

2⁷ − 2 = 126 ≥ 63 → h = 7

プレフィックス長

p = 32 − 7 = 25

答え

p = /25

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 16

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

125 = 01111101

131 = 10000011

共通する先頭のビット：0

プレフィックス長

p = 16 + 0 = 16

答え

p = /16

集約経路：10.62.0.0/16 （リストにない 249 個のネットワークもカバーします）。

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