コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1110 0010 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1110 00108 bit

N =

2.記数法むずかしい

非圧縮の画像が 1280 × 720 ピクセル、1 ピクセルあたり 8 ビットです。必要なメモリ M は何 KiB（1 KiB = 1024 バイト）ですか？

1280 × 720 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命題論理と証明ふつう

(r ∨ p) → q を背理法によって証明しようとしています。最初に仮定する主張はどれですか？クリックしてください。

(r ∨ p) → q

1¬(r ∨ p) ∧ q
2¬(r ∨ p) ∧ ¬q
3¬(r ∨ p) → ¬q
4(r ∨ p) ∧ ¬q

4.命題論理と証明むずかしい

前提 p → q; q → r が与えられています。そこから導かれる結論はどれですか？クリックしてください。

p → qq → r

1¬p → ¬r
2r → p
3p → r
4p ∧ r

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

F = AB′C + BC + AB′ + ABC を最小の積和形に簡単化してください。簡単化した式に含まれるリテラル L はいくつですか？

F = AB′C + BC + AB′ + ABC

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

mod-60 カウンタが、最小個数のフリップフロップでつくられています。使われない状態 U はいくつありますか？

N = 60

U =

7.整数論と合同式ふつう

23x ≡ 29 (mod 33) を解いてください。0 < x < 33 を満たす解 x を答えてください。

23x ≡ 29 (mod 33)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 7 と q = 23、公開指数 e = 13 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 7q = 23e = 13

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ある関数は n 回反復するループを 1 つ実行し、その後別に n 回反復するループをもう 1 つ実行します。時間計算量は何ですか？

AO(log n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

A回路充足可能性問題
B各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
C連言標準形の式に対する一般の SAT
D各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT

11.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

Aオートコンプリートなどの接頭辞検索
B最短経路の探索
C行列の格納
D数値のソート

12.データ構造むずかしい

ランクによる合併（union by rank）も経路圧縮も使わない場合、n 要素の union-find 構造での 1 回の find の最悪コストはどれですか。

AO(1)
BO(n)
CO(α(n))
DO(log n)

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 17 個の頂点と 24 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 17|E| = 24

k =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

データベースのトリガーとは何ですか？

Aテーブルで INSERT、UPDATE、DELETE などの指定したイベントが起きると自動的に実行されるコード
Bデータベースの定期バックアップ
C検索を速くするインデックスの一種
Dユーザーが手で実行するクエリ

16.データベースと SQLむずかしい

トランザクション T1 は行 A をロックして行 B を待ち、T2 は行 B をロックして行 A を待っています。一般的な DBMS はどうしますか？

Aデッドロックを検出し、一方のトランザクションを犠牲として中止する
B2 つのトランザクションを 1 つにまとめる
C両方のトランザクションを同時にコミットする
D一方がふつうにコミットするまで、両方のトランザクションを待たせる

17.コンピュータネットワークふつう

1500 バイトのパケットを 12 Mbit/s のリンクに送り出すのにどれだけかかりますか（伝送遅延）？

A12 ms
B0.125 ms
C8 ms
D1 ms

18.コンピュータネットワークむずかしい

DNS クエリは通常 UDP を使います。DNS が代わりに TCP を使うのは通常どのような場合ですか？

AIP アドレスの逆引きの場合だけ
BWeb ブラウザーから送られるすべてのクエリの場合
CUDP には大きすぎる応答と、ゾーン転送の場合
Dドメイン名が 10 文字より長い場合だけ

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 8 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.217.46/25 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.217.46/25

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −30

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 32 + 2 = −30

答え

N = −30

2.記数法

答え: M = 900 KiB

ビットとバイト

1280·720·8 = 7372800 bit = 921600 B

KiB に換算する

921600/1024 = 900 KiB

答え

M = 900 KiB

3.命題論理と証明

答え: (r ∨ p) ∧ ¬q

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = r ∨ p, b = q

含意の否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (r ∨ p) ∧ ¬q

答え

(r ∨ p) ∧ ¬q

仮定から矛盾が導かれるなら、その含意は真でなければなりません。

4.命題論理と証明

答え: p → r

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

すべての前提が真の行

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p → ¬r = 1, r → p = 1, p → r = 1, p ∧ r = 1

p = 0, q = 1, r = 1: ¬p → ¬r = 0, r → p = 0, p → r = 1, p ∧ r = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬p → ¬r = 0, r → p = 0, p → r = 1, p ∧ r = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬p → ¬r = 1, r → p = 1, p → r = 1, p ∧ r = 0

結論

p → r (仮言三段論法)

答え

p → r

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 4

ブール代数：式を簡単にする規則は、X + X′ = 1 と X·X′ = 0、X + X = X、吸収則 X + X·Y = X、結合則 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y、そしてコンセンサス定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z です。ド・モルガンの法則は (X·Y)′ を X′ + Y′ に、(X + Y)′ を X′·Y′ に変えます。カルノー図はこれらの規則を図で適用するものです：隣り合う 2 つのセルのグループは、XY + XY′ = X を 1 回使うことに当たります。

式の最小項

AB′C → m(5)

BC → m(3, 7)

AB′ → m(4, 5)

ABC → m(7)

グループ化して読み取る

F = BC + AB′

リテラルを数える

L = 4

答え

L = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: U = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

フリップフロップの個数

2ⁿ ≥ 60 → n = 6 (2⁶ = 64)

使われない状態

U = 64 − 60 = 4

答え

U = 4

7.整数論と合同式

答え: x = 7

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

23 の逆元

r = 33, t = 0

r = 23, q = 1, t = 1

r = 10, q = 2, t = −1

r = 3, q = 3, t = 3

r = 1, q = 3, t = −10

23⁻¹ ≡ 23 (mod 33)

解く

x ≡ 23·29 = 667 ≡ 7 (mod 33)

確認: 23·7 = 161 ≡ 29 (mod 33)

答え

x = 7

8.整数論と合同式

答え: d = 61

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 7·23 = 161

φ(n) = 6·22 = 132

拡張ユークリッドの互除法

r = 132, t = 0

r = 13, q = 10, t = 1

r = 2, q = 6, t = −10

r = 1, q = 2, t = 61

秘密指数

d = 61

全域木の辺

17 − 1 = 16

取り除く辺

k = 24 − 16 = 8

答え

k = 8

14.グラフ理論

答え: d(F) = 27

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15

B (15): C: 29, G: 24

G (24): D: 26, E: 34

D (26): F: 27

F (27)

C (29)

E (34)

最短経路

A → B → G → D → F

借りるビット数

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

サブネットあたりのホスト数

2⁵ − 2 = 30

答え

H = 30

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 126

ブロックサイズ

2⁷ = 128

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊46/128⌋·128 = 0

ブロードキャスト: 0 + 128 − 1 = 127

使えるホスト: 1 … 126

答え

x = 126

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