コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −120 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −1208 bit

U =

2.記数法むずかしい

10 ビットに収まる最大の符号なし整数 N はいくつですか？

10 bit

N =

3.命題論理と証明ふつう

b → c と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

b → c

1¬b → ¬c
2c → b
3¬c ∧ ¬b
4¬c → ¬b

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 8, 13, 14) + d(0, 2, 3, 4) について、必須主項の個数 N を求めてください。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 8, 13, 14) + d(0, 2, 3, 4)

N =

7.整数論と合同式ふつう

79 を法とする 17 の逆元を求めてください：0 < x < 79 かつ 17·x ≡ 1 (mod 79) を満たす数 x です。

a = 17n = 79

17⁻¹ mod 79 =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 611 を RSA 公開鍵 (n, e) = (667, 3) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 667e = 3m = 611

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

AO(n)
BO(log n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

Aクイックソートを実行する前に入力をソートする
B左側にのみ再帰を使う
C常に先頭の要素を選ぶ
Dピボットを一様ランダムに選ぶ

11.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

Aすべての葉から新しい最小値を探す
B最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
C根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
D配列の最後の要素を取り除く

12.データ構造むずかしい

基数木（radix tree、圧縮トライ）は通常のトライをどのように改良していますか。

A各単語を別々のノードではなく、根にあるハッシュテーブルに格納する
B各ノードの子を頻度順にソートする
C各単語の最初の文字だけを保持する
D子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 28 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 28

k =

14.グラフ理論むずかしい

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 4

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BC
4辺 BD
5辺 CE
6辺 DE
7辺 BE

15.データベースと SQLふつう

SQL インジェクション（SQL injection）とは何ですか？

Aユーザー入力によって SQL クエリの構造が変えられてしまう攻撃
Bデータベースのバックアップ手法
Cインデックスを追加する方法
D1 つの INSERT 文で多数の行を高速に挿入する方法

16.データベースと SQLむずかしい

ダーティリードは防ぐが、ノンリピータブルリードは依然として許す分離レベルはどれですか？

ARead committed
BSerializable
CRepeatable read
DRead uncommitted

17.コンピュータネットワークふつう

スイッチは通常 OSI のどの層で動作しますか？

Aネットワーク層（レイヤー 3）
B物理層（レイヤー 1）
Cトランスポート層（レイヤー 4）
Dデータリンク層（レイヤー 2）

18.コンピュータネットワークむずかしい

コンテンツデリバリーネットワーク（CDN）は主にどのように Web のパフォーマンスを向上させますか？

Aユーザーの近くにあるサーバーから、キャッシュしたコンテンツを配信する
BDNS の名前解決を不要にする
Cユーザー自身の自宅回線の帯域幅を増やす
DTCP をより高速なトランスポートプロトコルに置き換える

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 685 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

685 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.180.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 52 ホスト, B: 102 ホスト, C: 11 ホスト, D: 3 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN D のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 52B: 102C: 11D: 3

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 136

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

120 = 0111 1000

反転後: 1000 0111

+1 → 1000 1000

符号なしとして読む

1000 1000₂ = 256 − 120 = 136

答え

U = 136

2.記数法

答え: N = 1023

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

最大値

2¹⁰ − 1 = 1023

答え

N = 1023

3.命題論理と証明

答え: ¬c → ¬b

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

含意は、その対偶 ¬b → ¬a と同値であり、逆 b → a や裏 ¬a → ¬b とは同値ではありません。

b → c ≡ ¬c → ¬b

真理値表で確かめる

b = 1, c = 1: 1 | 1 1 0 1

b = 1, c = 0: 0 | 1 1 0 0

b = 0, c = 1: 1 | 0 0 0 1

b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

答え

¬c → ¬b

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答え

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 5

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

BD′

B′CD

A′C′D′

最小の SOP 形

F = BD′ + B′CD + AC + A′C′D′ + AB

N = 5

答え

N = 5

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′C′D′, A′B′, ABC′D, ABCD′

必須主項

B′C′D′, A′B′, ABC′D, ABCD′

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: 17⁻¹ mod 79 = 14

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·17 (mod 79) と書けます。

r = 79, t = 0

r = 17, q = 4, t = 1

r = 11, q = 1, t = −4

r = 6, q = 1, t = 5

r = 5, q = 1, t = −9

r = 1, q = 5, t = 14

逆行列

1 ≡ 14·17 (mod 79)

x = 14

確認: 17·14 = 238 = 3·79 + 1

答え

17⁻¹ mod 79 = 14

8.整数論と合同式

答え: c = 472

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

3 = 2 + 1

D · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

13.グラフ理論

答え: k = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 28 − 17 = 11

答え

k = 11

14.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. BC (1)

2. DE (3)

3. AB (6)

4. CE (7)