コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1100 1101 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1100 11018 bit

N =

2.記数法むずかしい

あるシステムで、201 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？

201

b = bit

3.命題論理と証明ふつう

c → a と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

c → a

1a → c
2¬c ∨ a
3c ∨ ¬a
4¬c → ¬a

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∃x ∀y R(x, y) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∀y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 7) の最小の和積形（POS）を求めてください。和項（因数）N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 7)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 7, 8, 10, 13, 14) + d(1, 2, 15) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 7, 8, 10, 13, 14) + d(1, 2, 15)

N =

7.整数論と合同式ふつう

11 を法とする 6 の逆元を求めてください：0 < x < 11 かつ 6·x ≡ 1 (mod 11) を満たす数 x です。

a = 6n = 11

6⁻¹ mod 11 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 13 と q = 29、公開指数 e = 23 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 13q = 29e = 23

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

AO(E log V)
BO(V³ × E)
CO(V + E)
DO(V × E)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

A負の重みを持つグラフ
B有向非巡回グラフ（DAG）
C無向グラフ
D完全グラフ

11.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

A既存のキーがその場でソートされる
B場所を空けるために最も古いキーが削除される
C衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される
Dより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

12.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

A要素のすべての組を保持するキュー
B要素ごとに作り直す二分探索木
C答えを待っている要素を保持するスタック
Dすべての要素のハッシュテーブル

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 9

W =

15.データベースと SQLふつう

テーブルに col が NULL の行があります。WHERE col = NULL はどの行を返しますか？

Aテーブルのすべての行
Bどのデータベースでもエラー
CIS NULL の場合と同様に、col が NULL の行だけ
D比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない

16.データベースと SQLむずかしい

次のクエリは何を返しますか：SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)

A全学生の平均点
BWHERE ではサブクエリが使えないためエラー
C最高点の学生のみ
D成績が平均点を上回る学生

17.コンピュータネットワークふつう

ホストにおけるデフォルトゲートウェイの役割は何ですか？

ADNS サーバーである
BMAC アドレスを割り当てる
Cホストが接続されているスイッチのポートである
D他のネットワーク宛てのトラフィックに使われるルーターである

18.コンピュータネットワークむずかしい

サイトが自己署名証明書を提示すると、ブラウザーが警告を出すのはなぜですか？

A自己署名証明書はまったく暗号化を使わないので、通信は平文で送られる
Bその鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから
Cサイトが HTTPS ではなく HTTP を使っているはずだから
Dその証明書は常に期限切れだから

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 5 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/245 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.17.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 12 ホスト, B: 3 ホスト, C: 22 ホスト, D: 46 ホスト, E: 24 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN E のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 12B: 3C: 22D: 46E: 24

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −51

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 8 + 4 + 1 = −51

答え

N = −51

2.記数法

答え: b = 8 bit

2 のべき乗

2⁷ = 128 < 201

2⁸ = 256 ≥ 201

答え

b = 8

3.命題論理と証明

答え: ¬c ∨ a

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0 なので、¬a ∨ b と同じです。

c → a ≡ ¬c ∨ a

真理値表で確かめる

a = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, c = 0: 1 | 0 1 0 0

a = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 1

a = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

答え

¬c ∨ a

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答え

∀x ∃y ¬R(x, y)

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

0 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

(B + C′)

(A′ + C)

最小の POS 形

F = (B + C′)(A′ + C)

N = 2

答え

N = 2

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′D′, BD, A′D, ACD′, A′B′, ABC

最小被覆

F = B′D′ + BD + A′D + ACD′

N = 4

答え

N = 4

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

7.整数論と合同式

答え: 6⁻¹ mod 11 = 2

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·6 (mod 11) と書けます。

r = 11, t = 0

r = 6, q = 1, t = 1

r = 5, q = 1, t = −1

r = 1, q = 5, t = 2

逆行列

1 ≡ 2·6 (mod 11)

x = 2

確認: 6·2 = 12 = 1·11 + 1

答え

6⁻¹ mod 11 = 2

8.整数論と合同式

答え: d = 263

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 13·29 = 377

φ(n) = 12·28 = 336

拡張ユークリッドの互除法

r = 336, t = 0

r = 23, q = 14, t = 1

r = 14, q = 1, t = −14

r = 9, q = 1, t = 15

r = 5, q = 1, t = −29

r = 4, q = 1, t = 44

r = 1, q = 4, t = −73

秘密指数

d = 263

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

オイラー閉路

答え

オイラー閉路

14.グラフ理論

答え: W = 42

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (1): 取る

EF (7): 取る

BE (9): 取る

B · その鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 30

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2³ = 8 ≥ 5 → b = 3, /27

サブネットあたりのホスト数

2⁵ − 2 = 30

答え

H = 30

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 64

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

D: 46 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

E: 24 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

C: 22 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

A: 12 ホスト → 2⁴ = 16 (/28)

B: 3 ホスト → 2³ = 8 (/29)

割り当て（大きい順）

D: .0 – .63

E: .64 – .95

C: .96 – .127

A: .128 – .143

B: .144 – .151

答え

x = 64

LAN E：192.168.17.64/27。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals