コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −90 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −908 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 0111 1000 << 3 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0111 1000<< 3

R =

3.命題論理と証明ふつう

この論理式 (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) は、真理値表の 8 行のうち何行で真になりますか？この数を N とします。

(c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a)

N =

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

4 ビットのジョンソンカウンタ Q₃Q₂Q₁Q₀ は 0000 から始まります。クロックエッジごとにビットは 1 つ右へシフトし（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀）、Q₃ には Q₀ の反転が入ります。11 クロックエッジのあとの状態 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ を 10 進数で答えてください。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 000011

Q =

7.整数論と合同式ふつう

11x ≡ 6 (mod 17) を解いてください。0 < x < 17 を満たす解 x を答えてください。

11x ≡ 6 (mod 17)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 31、q = 37、e = 17 を使います。暗号文 c = 788 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 31q = 37e = 17c = 788

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

Aループが一つだけ
Bランダムな入力のみ
C部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
D重複する部分問題と最適部分構造

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)

11.データ構造ふつう

二分探索木のあるノードが右部分木をもっています。その通りがけ順での次のノード（後続ノード）はどこにありますか。

A左部分木の最も右のノード
B常にその親
C常にその右の子
D右部分木の最も左のノード

12.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

A偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
B常に正確な答えを返す
C数値に対してのみ答えられる
D偽陰性はあり得るが、偽陽性はない

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₅ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₅

H =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

学生は多くの科目を履修でき、科目には多くの学生がいます。これはテーブルでどのようにモデル化しますか？

A学生と科目を 1 つのテーブルにまとめて
B学生と科目の両方への外部キーを持つ中間テーブルで
C1 つの列に科目 id のリストを保存して
Dstudents テーブルに courses を指す外部キー列 course_id を置いて

16.データベースと SQLむずかしい

テーブル employee(emp_id, dept_id, dept_name) のキーは emp_id で、dept_id → dept_name です。正しい記述はどれですか？

ABCNF であり、したがって 3NF である
B1NF ではない
C2NF だが 3NF ではない
D2NF ではない

17.コンピュータネットワークふつう

次のうち、プライベート IPv4 アドレスの範囲はどれですか？

A100.0.0.0/8
B192.168.0.0/16
C8.8.8.0/24
D200.1.1.0/24

18.コンピュータネットワークむずかしい

192.168.1.0/24 を、それぞれ最大 25 ホストの少なくとも 5 つのサブネットに分けなければなりません。最も適したプレフィックス長はどれですか？

A/26
B/25
C/28
D/27

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 128 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

128 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.183.109/30 です。そのネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.183.109/30

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 166

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

90 = 0101 1010

反転後: 1010 0101

+1 → 1010 0110

符号なしとして読む

1010 0110₂ = 256 − 90 = 166

答え

U = 166

2.記数法

答え: R = 192

ビットごとに

3 だけ左にシフトすると、すべてのビットが 3 桁左へ動きます。左端からはみ出したビットは失われ、右側には 0 が入ります。

0111 1000 << 3

= 1100 0000

結果の値

1100 0000₂ = 192

答え

R = 192

3.命題論理と証明

答え: N = 6

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

真理値表を行ごとに見る

a = 1, b = 1, c = 1: b ↔ a = 1, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 1, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: b ↔ a = 1, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 1, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: b ↔ a = 0, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 1, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: b ↔ a = 0, c ∨ (b ↔ a) = 0, c ∨ b = 0, (c ∨ b) ↔ a = 0, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: b ↔ a = 0, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 0, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: b ↔ a = 0, c ∨ (b ↔ a) = 0, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 0, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: b ↔ a = 1, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) ↔ a = 0, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: b ↔ a = 1, c ∨ (b ↔ a) = 1, c ∨ b = 0, (c ∨ b) ↔ a = 1, (c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a) = 1

値が 1 の行を数える

(c ∨ (b ↔ a)) ∨ ((c ∨ b) ↔ a): 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1

N = 6

答え

N = 6

4.命題論理と証明

答え: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答え

∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 11, CD = 11

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m15: m14, m13, m11, m7 → 0

孤立した 1

m15 = ABCD → AB = 11, CD = 11

答え

AB = 11, CD = 11

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 14

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの状態

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000 → 1100 → 1110

10 進値

1110₂ = 14

答え

Q = 14

7.整数論と合同式

答え: x = 16

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

11 の逆元

r = 17, t = 0

r = 11, q = 1, t = 1

r = 6, q = 1, t = −1

r = 5, q = 1, t = 2

r = 1, q = 5, t = −3

11⁻¹ ≡ 14 (mod 17)

解く

x ≡ 14·6 = 84 ≡ 16 (mod 17)

確認: 11·16 = 176 ≡ 6 (mod 17)

答え

x = 16

8.整数論と合同式

答え: m = 582

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 1147, φ(n) = 1080

d = 17⁻¹ mod 1080 = 953

反復二乗法で復号する

953 = 512 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 1

788¹ ≡ 788 (mod 1147)

788² ≡ 417 (mod 1147)

788⁴ ≡ 692 (mod 1147)

788⁸ ≡ 565 (mod 1147)

788¹⁶ ≡ 359 (mod 1147)

788³² ≡ 417 (mod 1147)

788⁶⁴ ≡ 692 (mod 1147)

788¹²⁸ ≡ 565 (mod 1147)

788²⁵⁶ ≡ 359 (mod 1147)

788⁵¹² ≡ 417 (mod 1147)

788⁹⁵³ ≡ 788·565·359·417·565·359·417 ≡ 582 (mod 1147)

メッセージ

m = 582

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12

14.グラフ理論

答え: d(F) = 18

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15, C: 14

C (14): E: 15

B (15): D: 17

E (15): F: 25

D (17): F: 18

F (18)

最短経路

A → B → D → F

必要なホストビット数

2⁷ − 2 = 126 < 128

2⁸ − 2 = 254 ≥ 128 → h = 8

プレフィックス長

p = 32 − 8 = 24

答え

p = /24

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 108

ブロックサイズ

2² = 4

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊109/4⌋·4 = 108

ブロードキャスト: 108 + 4 − 1 = 111

使えるホスト: 109 … 110

答え

x = 108

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