コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1010 1011 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1010 10118 bit

N =

2.記数法むずかしい

ビットを 1100 1010 OR 1100 1110 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1100 1010OR1100 1110

R =

3.命題論理と証明ふつう

r ∨ (p ∧ q) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

r ∨ (p ∧ q)

1r ∧ (p ∨ q)
2(r ∨ p) ∧ q
3(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)
4(r ∧ p) ∨ (r ∧ q)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(6, 8, 9, 11, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの JK フリップフロップが Q = 0 から始まり、7 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0JK

N =

7.整数論と合同式ふつう

53 を法とする 10 の逆元を求めてください：0 < x < 53 かつ 10·x ≡ 1 (mod 53) を満たす数 x です。

a = 10n = 53

10⁻¹ mod 53 =

8.整数論と合同式むずかしい

反復二乗法を使って 3⁶⁹ mod 31 を求めてください。

a = 3k = 69n = 31

3⁶⁹ mod 31 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

Aコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
B自動的に 0 を返す
CO(1) 時間で動作する
Dコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ある NP 完全問題に対する多項式時間アルゴリズムを誰かが見つけたら、何が導かれますか？

A停止問題が決定可能になる
BNP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
Cその 1 つの問題だけが P に移る
Dすべての指数時間アルゴリズムがただちに線形時間で動くようになる

11.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

Aキーが挿入順に格納されること
B再平衡化による O(log n) の高さ
Cどの場合でも定数時間での探索
D2 つの子を持つノードが存在しないこと

12.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

AO(1) での中央値の検索
B接頭辞和のクエリと単一要素の更新
C配列のソートと二分探索
D任意の位置への要素の挿入

13.グラフ理論ふつう

木に次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 4 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 44 × deg 5

L =

14.グラフ理論むずかしい

プリム法は、頂点 G から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Gk = 2

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BD
4辺 CE
5辺 DE
6辺 DF
7辺 EF
8辺 GB
9辺 GC
10辺 GD
11辺 GE

15.データベースと SQLふつう

ACID の "A" は何を表しますか？

A可用性（Availability）
B原子性（Atomicity）
C集約（Aggregation）
D正確性（Accuracy）

16.データベースと SQLむずかしい

クエリ FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' が、注文のない顧客を思いがけず落としてしまいます。なぜですか？

Ao に対する WHERE 条件が NULL で埋められた行を除外し、内部結合と同じになるから
B結合には ON ではなく USING を使うべきだから
Cstatus が予約語だから
DLEFT JOIN は一致しない行を決して残さないから

17.コンピュータネットワークふつう

「ウェルノウン」ポートとして予約されている TCP/UDP ポート番号の範囲はどれですか？

A1024–49151
B0–65535
C49152–65535
D0–1023

18.コンピュータネットワークむずかしい

リンクステート型のルーティングプロトコルはどれですか？

AARP
BBGP
COSPF
DRIP

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 6 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/246 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.137.189.0/24, 10.137.190.0/24, 10.137.191.0/24, 10.137.192.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.137.189.0/24 … 10.137.192.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: N = −85

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 32 + 8 + 2 + 1 = −85

答え

N = −85

2.記数法

答え: R = 206

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

1100 1010

OR 1100 1110

= 1100 1110

結果の値

1100 1110₂ = 206

答え

R = 206

3.命題論理と証明

答え: (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

∨ は ∧ に対して分配します：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

r ∨ (p ∧ q) ≡ (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答え

(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答え

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 01, CD = 10

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m6: m7, m4, m2, m14 → 0

孤立した 1

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

答え

AB = 01, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

JK フリップフロップ：00 は保持、01 はリセット（Q = 0）、10 はセット（Q = 1）、11 はトグルです。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 1, K = 1 → Q = 1

3: J = 1, K = 1 → Q = 0

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

変化を数える

0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: 10⁻¹ mod 53 = 16

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·10 (mod 53) と書けます。

r = 53, t = 0

r = 10, q = 5, t = 1

r = 3, q = 3, t = −5

r = 1, q = 3, t = 16

逆行列

1 ≡ 16·10 (mod 53)

x = 16

確認: 10·16 = 160 = 3·53 + 1

答え

10⁻¹ mod 53 = 16

8.整数論と合同式

答え: 3⁶⁹ mod 31 = 29

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

2 進数の指数

69 = 1000101₂ = 64 + 4 + 1

反復二乗法

3¹ ≡ 3 (mod 31)

3² ≡ 9 (mod 31)

3⁴ ≡ 19 (mod 31)

3⁸ ≡ 20 (mod 31)

B · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

13.グラフ理論

答え: L = 23

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 41 = 2(L + 10) − 2

L = 23

答え

L = 23

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

14.グラフ理論

答え: 辺 BD

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. GB (8)

2. BD (6)

3. DF (7)

4. GC (10)

5. AC (11)

6. EF (12)

OSPF ルーターはエリア全体のマップを構築し、Dijkstra のアルゴリズムで最短経路を計算します。RIP は距離ベクトル型、BGP はパスベクトル型です。

答え

C · OSPF

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 30

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2³ = 8 ≥ 6 → b = 3, /27

サブネットあたりのホスト数

2⁵ − 2 = 30

答え

H = 30

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 17

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

189 = 10111101

192 = 11000000

共通する先頭のビット：1

プレフィックス長

p = 16 + 1 = 17

答え

p = /17

集約経路：10.137.128.0/17 （リストにない 124 個のネットワークもカバーします）。

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