コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −116 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −1168 bit

U =

2.記数法むずかしい

あるシステムで、2110 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？

2110

b = bit

3.命題論理と証明ふつう

この論理式 (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) は、真理値表の 8 行のうち何行で真になりますか？この数を N とします。

(¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r))

N =

4.命題論理と証明むずかしい

真理値表の 16 行のうち、¬((b ∨ (c → d)) ∧ (a ∧ (c → a))) が真になるのは何行ですか？この数を N とします。

¬((b ∨ (c → d)) ∧ (a ∧ (c → a)))

N =

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 7, 11, 12, 15) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 7, 11, 12, 15)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 10, 14) + d(5, 6) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 10, 14) + d(5, 6)

N =

7.整数論と合同式ふつう

オイラーのトーシェント関数 φ(676)、つまり 1 から 676 までの整数のうち 676 と互いに素なものの個数を求めてください。

n = 676 = 2²·13²

φ(676) =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 170 を RSA 公開鍵 (n, e) = (209, 7) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 209e = 7m = 170

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

A自動的に 0 を返す
BO(1) 時間で動作する
Cコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
Dコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
DΘ(n²)

11.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n)
DO(1)

12.データ構造むずかしい

n 要素の二分最小ヒープで任意のキーを探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

AO(n)
BO(log log n)
CO(log n)
DO(1)

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers は、phone が NULL の顧客について何を返しますか？

ANULL
Bエラー
C空文字列
D'unknown'

16.データベースと SQLむずかしい

テーブル b の列 y には値 1、2、NULL が入っています。SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) は何を返しますか？

Ax が 1 でも 2 でもない a の行
Ba のすべての行
Cx が NULL の a の行だけ
Dまったく行を返さない

17.コンピュータネットワークふつう

RIP が経路の選択に使うメトリックはどれですか？

Aホップ数
B測定された遅延
Cビジネス上のポリシー
Dリンクの帯域幅

18.コンピュータネットワークむずかしい

ある TCP コネクションのウィンドウは 64 KB、往復時間は 100 ms で、ウィンドウスケーリングはありません。最大スループットはおよそいくつですか？

A約 0.5 Mbit/s
B約 640 Mbit/s
C約 50 Mbit/s
D約 5 Mbit/s

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 250 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

250 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.103.187/28 です。そのネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.103.187/28

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 140

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

116 = 0111 0100

反転後: 1000 1011

+1 → 1000 1100

符号なしとして読む

1000 1100₂ = 256 − 116 = 140

答え

U = 140

2.記数法

答え: b = 12 bit

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

2 のべき乗

2¹¹ = 2048 < 2110

2¹² = 4096 ≥ 2110

答え

b = 12

3.命題論理と証明

答え: N = 7

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

真理値表を行ごとに見る

p = 1, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 0, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ p = 1, ¬q = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 0, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 1, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ p = 1, ¬q = 1, ¬q ∧ ¬r = 1, q → (¬q ∧ ¬r) = 1, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 0, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 0, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ ¬r = 0, q → (¬q ∧ ¬r) = 1, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ p = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ ¬r = 1, q → (¬q ∧ ¬r) = 1, (¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)) = 1

値が 1 の行を数える

(¬r ∧ p) → (q → (¬q ∧ ¬r)): 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1

N = 7

答え

N = 7

4.命題論理と証明

答え: N = 9

列

c → d; b ∨ (c → d); c → a; a ∧ (c → a); (b ∨ (c → d)) ∧ (a ∧ (c → a)); ¬((b ∨ (c → d)) ∧ (a ∧ (c → a)))

a で分ける

a = 1: 1

a = 0: 8

N = 1 + 8 = 9

答え

N = 9

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 5

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

BC′D′

BCD

A′C′D

ACD

A′B′CD′

最小の SOP 形

F = BC′D′ + BCD + A′C′D + ACD + A′B′CD′

N = 5

答え

N = 5

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

CD′, A′D′, A′B

最小被覆

F = CD′ + A′D′ + A′B

N = 3

答え

N = 3

7.整数論と合同式

答え: φ(676) = 312

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

676 = 2²·13²

トーシェント関数

φ(676) = φ(4)·φ(169) = 2·156 = 312

答え

φ(676) = 312

8.整数論と合同式

答え: c = 113

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

7 = 4 + 2 + 1

170¹ ≡ 170 (mod 209)

A · O(n)

13.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

オイラー閉路

答え

オイラー閉路

14.グラフ理論

答え: d(F) = 16

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15, C: 8

C (8): B: 12, E: 10, G: 21

E (10): D: 11, F: 16, G: 13

D (11)

B (12)

G (13)

F (16)

最短経路

A → C → E → F

必要なホストビット数

2⁷ − 2 = 126 < 250

2⁸ − 2 = 254 ≥ 250 → h = 8

プレフィックス長

p = 32 − 8 = 24

答え

p = /24

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 176

ブロックサイズ

2⁴ = 16

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊187/16⌋·16 = 176

ブロードキャスト: 176 + 16 − 1 = 191

使えるホスト: 177 … 190

答え

x = 176

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