1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
7 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0006% / 12n = 7
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0004.8% / 12N = 72
A = €
3.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€28 000, €34 000, €33 000, €34 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −75 000CF1 = 28 000CF2 = 34 000CF3 = 33 000CF4 = 34 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€40 000 の投資が 5 年間、毎年末に €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €40 000CF = €10 500n = 5
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 6%n = 5
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 060 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 7P = €1 060
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.25 です。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.25re = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €57.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 2%rm = 7%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €28、1 個あたりの変動費は €20 です。固定費は月 €40 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €16 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €28v = €20F = €40 000T = 20%税引後利益 = €16 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €40 000 です。予算販売量は 5 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €40 000p = €35v = €25予算 = 5 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 32887 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·7 = 84
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.52 = €32 886.74
2.貨幣の時間価値
答え: A = 320.2 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·6 = 72
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7502
A = 20 000·0.004/(1 − 0.7502) = €320.25
3.NPV と IRR
答え: NPV = 16194 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 28 000/1.15 = 24 347.83
CF2/(1 + 0.15)2 = 34 000/1.322 = 25 708.88
CF3/(1 + 0.15)3 = 33 000/1.521 = 21 698.04
CF4/(1 + 0.15)4 = 34 000/1.749 = 19 439.61
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 9.807 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−5)/i = 40 000/10 500 = 3.81
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 9%: 3.89
i = 10%: 3.791
IRR = 9.807%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 914.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.03, N = 10
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €170.60
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.964 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 060 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(4%) = €1 120.04, P(5%) = €1 057.86
YTM = 4.964%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.1 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·8% + 0.2·5%·(1 − 0.3) = 7.1%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.1 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€57.50 = €287 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
ウェイト
V = €329 500 000, E/V = 0.8725, D/V = 0.1275
WACC
WACC = 0.8725·11% + 0.1275·5%·(1 − 0.21) = 10.1%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 7500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
16 000/(1 − 0.2) = €20 000
必要な販売量
Q = (40 000 + 20 000)/8 = 7 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 40 000/10 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 000 − 4 000)/5 000·100 = 20%