コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 5%、月複利で €20 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0005% / 12n = 8

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 3.6%、月複利で €20 000 を借り、毎月末に €450 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €20 000A = €4503.6% / 12

N = 回

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €14 000, €21 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 000CF₃ = 21 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 500, €13 000, €19 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 23 500CF₂ = 13 000CF₃ = 19 500

MIRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 8%n = 9

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5YTM = 7%

D = 年

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 12 年）からなり、1 枚 €1 046 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €15 000 000r_e = 12%債券: 4 000 × €1 046クーポンレート = 5%n = 12T = 20%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €26 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €100 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €100 000p = €26v = €6利益 = €5 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 630 個を各 €19 で販売しており、1 個あたりの変動費は €15、固定費は €2 000 です。販売量が 12% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 630p = €19v = €15F = €2 000%ΔQ = −12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 29812 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167

N = m·n = 12·8 = 96

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.004167)⁹⁶ = 20 000·1.491 = €29 811.71

答え

FV = €29 811.71

2.貨幣の時間価値

答え: N = 48 回

年金の公式を変形する

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.003/450 = 0.8667

対数を使って解く

N = −ln(0.8667)/ln(1.003) = 47.77

返済回数を整数に切り上げる

47 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 48

答え

N = 48 回

3.NPV と IRR

答え: NPV = 1193 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 18 000/1.07 = 16 822.43

CF₂/(1 + 0.07)² = 14 000/1.145 = 12 228.14

CF₃/(1 + 0.07)³ = 21 000/1.225 = 17 142.26

合計する

NPV = €1 192.83

答え

NPV = €1 192.83

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: MIRR = 15.07 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

23 500·1.08² = 27 410.40

13 000·1.08¹ = 14 040.00

19 500·1.08⁰ = 19 500.00

TV = 60 950.40

MIRR

MIRR = (60 950.40/40 000)^1/3 − 1 = 15.07%

答え

MIRR = 15.07%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 936.7 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.04, N = 18

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €443.08

額面の現在価値

€1 000·0.4936 = €493.63

価格

P = €936.70

答え

P = €936.70

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: D = 4.523 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 50/1.07 = 46.73, t·PV = 46.73

t = 2: 50/1.145 = 43.67, t·PV = 87.34

t = 3: 50/1.225 = 40.81, t·PV = 122.44

t = 4: 50/1.311 = 38.14, t·PV = 152.58

t = 5: 1050/1.403 = 748.64, t·PV = 3 743.18

デュレーション

P = 918.00

D = 4 152.27/918.00 = 4.523

答え

D = 4.523 年

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 11 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·13% + 0.2·4%·(1 − 0.25) = 11%

答え

WACC = 11%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.17 %

負債コスト（YTM）

1046 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 4.496%

時価

D = 4 000·€1 046 = €4 184 000

V = €19 184 000, E/V = 0.7819, D/V = 0.2181

WACC

WACC = 0.7819·12% + 0.2181·4.496%·(1 − 0.2) = 10.17%

答え

WACC = 10.17%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 5250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 26 − 6 = €20

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (100 000 + 5 000)/20 = 5 250

答え

Q = 5 250 個

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = −58.15 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 630·4 = €2 520

Π = 2 520 − 2 000 = €520

DOL

DOL = 2 520/520 = 4.846

利益の変化

%ΔΠ = 4.846·(−12%) = −58.15%

答え

%ΔΠ = −58.15%

確認：新しい利益 = 554·4 − 2 000 = €217.60。

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