1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€10 000 を年 7%、連続複利で投資します。2 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000r = 7%t = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 3.6%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。9 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0003.6% / 12N = 240k = 108
B = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €5 000, €4 000, €8 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 5 000CF3 = 4 000CF4 = 8 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €11 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €11 000g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5.5% のとき €915 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €915YTM = 5.5%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 100 で取引され、最終利回りは 6%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 10.2 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 100y = 6%D = 10.2Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €8 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 12 年）からなり、1 枚 €1 137 で取引されています。税率は 21% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €8 000 000re = 14%債券: 5 000 × €1 137クーポンレート = 6%n = 12T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €12 です。固定費は月 €15 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €15 000p = €22v = €12利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 200 個を各 €35 で販売しており、1 個あたりの変動費は €30、固定費は月 €4 000 です。1 個あたりの変動費が €1 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 200p = €35v = €30 → €31F = €4 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 11503 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.07·2 = 0.14
e0.14 = 1.15
将来価値
FV = 10 000·1.15 = €11 502.74
2.貨幣の時間価値
答え: B = 159245 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.003, N = 240
A = 250 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)−240) = €1 462.78
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 108 = 132
B = 1463·(1 − (1 + 0.003)−132)/0.003 = €159 245.02
3.NPV と IRR
答え: NPV = −319.5 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 10 000/1.15 = 8 695.65
CF2/(1 + 0.15)2 = 5 000/1.322 = 3 780.72
CF3/(1 + 0.15)3 = 4 000/1.521 = 2 630.06
CF4/(1 + 0.15)4 = 8 000/1.749 = 4 574.03
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −18502 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.12))8 = 0.5527
PV = 11 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.5527) = 61 497.96
NPV
NPV = 61 497.96 − 80 000 = −€18 502.04
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: c = 4.004 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.055)−7 = €687.44
クーポン
C = (915 − 687.44)/5.683 = €40.04
6.債券の価格と利回り
答え: P = 1206 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −9.623·(−0.01) = 9.623%
P ≈ 1100·(1 + 0.09623) = €1 205.85
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.871 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·8% + 0.6·6%·(1 − 0.258) = 5.871%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.66 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1137 = 60·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 4.498%
時価
D = 5 000·€1 137 = €5 685 000
V = €13 685 000, E/V = 0.5846, D/V = 0.4154
WACC
WACC = 0.5846·14% + 0.4154·4.498%·(1 − 0.21) = 9.66%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (15 000 + 10 000)/10 = 2 500
10.損益分岐点分析
答え: Q = 1500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 200·(35 − 30) − 4 000 = €2 000
同じ利益に必要な個数
Q = (4 000 + 2 000)/4 = 1 500