1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 8%、連続複利で投資します。2 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 8%t = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
7 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2005.4% / 12N = 84
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 9 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €1 500n = 9r = 5%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 3 年間、毎年末に €3 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €3 500n = 3
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 9%n = 12
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 050 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 6P = €1 050
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €47.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 2.5%rm = 9%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €13、1 個あたりの変動費は €8 です。固定費は月 €20 000 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €6 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €13v = €8F = €20 000T = 25%税引後利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €18、固定費は年 €20 000 です。予算販売量は 3 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €20 000p = €28v = €18予算 = 3 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2347 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.08·2 = 0.16
e0.16 = 1.174
将来価値
FV = 2 000·1.174 = €2 347.02
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 20361 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·7 = 84
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(1.458 − 1)/0.0045 = €20 361.16
自分で払い込んだのは €16 800。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: EAC = 7128 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.05−9)/0.05 = 7.108
EAC
EAC = 5 627.60 + 1 500 = €7 127.60
4.NPV と IRR
答え: IRR = 2.48 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−3)/i = 10 000/3 500 = 2.857
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 2%: 2.884
i = 3%: 2.829
IRR = 2.48%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 782.6 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.045, N = 24
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.3477)/0.045 = €434.86
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.953 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 050 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(6%) = €1 098.35, P(7%) = €1 047.67
YTM = 6.953%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.3 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9% + 0.5·5%·(1 − 0.28) = 6.3%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.16 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€47.50 = €95 000 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.5·6.5% = 12.25%
ウェイト
V = €135 000 000, E/V = 0.7037, D/V = 0.2963
WACC
WACC = 0.7037·12.25% + 0.2963·7%·(1 − 0.258) = 10.16%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 5600 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
6 000/(1 − 0.25) = €8 000
必要な販売量
Q = (20 000 + 8 000)/5 = 5 600
10.損益分岐点分析
答え: MS = 33.33 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 20 000/10 = 2 000
安全余裕率
MS = (3 000 − 2 000)/3 000·100 = 33.33%