1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 15%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 15%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
9 年後に €20 000 が欲しいとします。年 3.6%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €20 0003.6% / 12N = 108
A = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €8 000, €8 000, €7 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 8 000CF3 = 8 000CF4 = 7 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €20 000, €36 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 20 000CF2 = 36 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3.5%n = 11
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 9% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5YTM = 9%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 9.92%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €6 000 000D = €3 000 000WACC = 9.92%rd = 5%T = 25%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 0.9 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9D/E1 = 0.4D/E2 = 0.75T = 25.8%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 10 000 個を各 €40 で販売しています。1 個あたりの変動費は €25、固定費は €75 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 10 000p = €40v = €25F = €75 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €18、固定費は年 €7 500 です。予算販売量は 700 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €7 500p = €33v = €18予算 = 700
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 15.87 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0375)4 − 1 = 1.159 − 1 = 15.87%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: A = 157.1 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·9 = 108
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 20 000·0.003/(1.382 − 1) = €157.08
3.NPV と IRR
答え: NPV = 6593 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 7 000/1.05 = 6 666.67
CF2/(1 + 0.05)2 = 8 000/1.103 = 7 256.24
CF3/(1 + 0.05)3 = 8 000/1.158 = 6 910.70
CF4/(1 + 0.05)4 = 7 000/1.216 = 5 758.92
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 7.75 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 2 154.20
NPV(10%) = −1 652.89
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·2 154.20/(2 154.20 − (−1 652.89)) = 7.829%
正確な値: NPV(7.75%) = 0 → IRR = 7.75%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1091 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.0175, N = 22
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.6827)/0.0175 = €407.93
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 4.581 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 40/1.09 = 36.70, t·PV = 36.70
t = 2: 40/1.188 = 33.67, t·PV = 67.33
t = 3: 40/1.295 = 30.89, t·PV = 92.66
t = 4: 40/1.412 = 28.34, t·PV = 113.35
t = 5: 1040/1.539 = 675.93, t·PV = 3 379.64
デュレーション
P = 805.52
D = 3 689.68/805.52 = 4.581
7.CAPM と WACC
答え: re = 13.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC の負債の部分
0.3333·5%·(1 − 0.25) = 1.25%
株主資本コスト
re = (9.92% − 1.25%)/0.6667 = 13.01%
8.CAPM と WACC
答え: re = 6.321 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 0.9/(1 + 0.742·0.4) = 0.694
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.694·(1 + 0.742·0.75) = 1.08
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.08·4% = 6.321%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 10 000·(40 − 25) = €150 000
営業利益
Π = 150 000 − 75 000 = €75 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 7 500/15 = 500
安全余裕率
MS = (700 − 500)/700·100 = 28.57%