1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 15%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 15%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
14 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2004.2% / 12N = 168
FV = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、6 年間、毎年末に €10 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 8%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 10 000CF4 = 10 000CF5 = 10 000CF6 = 10 000
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €10 500, €12 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 10 500CF3 = 12 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 2.5%n = 9
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 075 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 8 年です。利回りが 150 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 075y = 7%D = 8Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.2 の株式の要求収益率は 10.4% です。無リスク金利は 2% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.2re = 10.4%rf = 2%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €40.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2.5%rm = 7%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 4 000 個を各 €18 で販売しています。1 個あたりの変動費は €15、固定費は €6 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 4 000p = €18v = €15F = €6 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €24 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €2 000 です。予算販売量は 630 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €2 000p = €24v = €20予算 = 630
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 15.87 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0375)4 − 1 = 1.159 − 1 = 15.87%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 45631 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(1.799 − 1)/0.0035 = €45 630.67
自分で払い込んだのは €33 600。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: DPB = 3.575 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 10 000/1.08 = 9 259.26 → Σ = 9 259.26
年度 2: 10 000/1.166 = 8 573.39 → Σ = 17 832.65
年度 3: 10 000/1.26 = 7 938.32 → Σ = 25 770.97
年度 4: 10 000/1.36 = 7 350.30 → Σ = 33 121.27
最後の年の端数
DPB = 3 + 4 229.03/7 350.30 = 3.575
割引回収期間は、常に単純回収期間（3 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 36.02 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 268.25
NPV(40%) = −983.97
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·268.25/(268.25 − (−983.97)) = 36.07%
正確な値: NPV(36.02%) = 0 → IRR = 36.02%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1441 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.0125, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.7996)/0.0125 = €641.18
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: P = 954.4 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −7.477·(0.015) = −11.21%
P ≈ 1075·(1 − 0.1121) = €954.44
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (10.4% − 2%)/1.2 = 7%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.115 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€40.00 = €100 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.3·4.5% = 8.35%
ウェイト
V = €105 100 000, E/V = 0.9515, D/V = 0.04853
WACC
WACC = 0.9515·8.35% + 0.04853·5%·(1 − 0.3) = 8.115%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 4 000·(18 − 15) = €12 000
営業利益
Π = 12 000 − 6 000 = €6 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20.63 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500
安全余裕率
MS = (630 − 500)/630·100 = 20.63%