1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 20%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 20%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0003.6% / 12N = 360
A = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、5 年間、毎年末に €10 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 10 000CF4 = 10 000CF5 = 10 000
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €34 500, €26 000, €24 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 26 000CF3 = 24 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りが 9% から 8.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10y1 = 9%y2 = 8.5%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 3YTM = 3.5%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.6 の株式の要求収益率は 11% です。無リスク金利は 3% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.6re = 11%rf = 3%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €60.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1%rm = 7%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 15 000 個を各 €47 で販売しています。1 個あたりの変動費は €45、固定費は €10 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 15 000p = €47v = €45F = €10 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 630 個を各 €7 で販売しており、1 個あたりの変動費は €4、固定費は月 €1 500 です。1 個あたりの変動費が €1 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 630p = €7v = €4 → €5F = €1 500
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 21.94 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01667)12 − 1 = 1.219 − 1 = 21.94%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: A = 682 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3401
A = 150 000·0.003/(1 − 0.3401) = €681.97
3.NPV と IRR
答え: DPB = 3.941 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 10 000/1.12 = 8 928.57 → Σ = 8 928.57
年度 2: 10 000/1.254 = 7 971.94 → Σ = 16 900.51
年度 3: 10 000/1.405 = 7 117.80 → Σ = 24 018.31
年度 4: 10 000/1.574 = 6 355.18 → Σ = 30 373.49
最後の年の端数
DPB = 3 + 5 981.69/6 355.18 = 3.941
割引回収期間は、常に単純回収期間（3 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 34.65 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 3 074.65
NPV(35%) = −220.49
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·3 074.65/(3 074.65 − (−220.49)) = 34.67%
正確な値: NPV(34.65%) = 0 → IRR = 34.65%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 31.37 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €80.00, i = 0.09, N = 10
€80.00·(1 − 0.4224)/0.09 + €1 000·0.4224 = €513.41 + €422.41 = €935.82
新しい利回りでの価格
C = €80.00, i = 0.085, N = 10
€80.00·(1 − 0.4423)/0.085 + €1 000·0.4423 = €524.91 + €442.29 = €967.19
変化
ΔP = 967.19 − 935.82 = €31.37
6.債券の価格と利回り
答え: D = 2.817 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 70/1.035 = 67.63, t·PV = 67.63
t = 2: 70/1.071 = 65.35, t·PV = 130.69
t = 3: 1070/1.109 = 965.08, t·PV = 2 895.24
デュレーション
P = 1 098.06
D = 3 093.56/1 098.06 = 2.817
7.CAPM と WACC
答え: rm = 8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (11% − 3%)/1.6 = 5%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.366 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€60.00 = €60 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
ウェイト
V = €70 500 000, E/V = 0.8511, D/V = 0.1489
WACC
WACC = 0.8511·8.2% + 0.1489·3.5%·(1 − 0.258) = 7.366%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 1.5
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 15 000·(47 − 45) = €30 000
営業利益
Π = 30 000 − 10 000 = €20 000
DOL
DOL = 30 000/20 000 = 1.5
10.損益分岐点分析
答え: Q = 945 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 630·(7 − 4) − 1 500 = €390
同じ利益に必要な個数
Q = (1 500 + 390)/2 = 945