1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
8 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €20 0006% / 4n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
15 年後に €10 000 が欲しいとします。年 5.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €10 0005.4% / 12N = 180
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。6 年間、毎年末に €20 500 を生み、その後 €25 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €20 500S = €25 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €25 500, €26 500, €25 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 25 500CF2 = 26 500CF3 = 25 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 6% のときに、残存期間 10 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 7.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 10y0 = 6%y1 = 7.5%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 4 年後に満期を迎え、€1 070 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €2 000 000re = 12%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €23.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3%rm = 10%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 1 200 個を各 €9 で販売しています。1 個あたりの変動費は €6、固定費は €2 400 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 1 200p = €9v = €6F = €2 400
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €10 000 です。予算販売量は 9 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €10 000p = €22v = €20予算 = 9 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 12420 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·8 = 32
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.61 = €12 419.86
2.貨幣の時間価値
答え: A = 36.18 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·15 = 180
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.0045/(2.244 − 1) = €36.18
3.NPV と IRR
答え: NPV = 3395 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 89 282.84 + 14 111.85 = €3 394.69
4.NPV と IRR
答え: IRR = 25.22 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 160.00
NPV(30%) = −3 324.99
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·160.00/(160.00 − (−3 324.99)) = 25.23%
正確な値: NPV(25.22%) = 0 → IRR = 25.22%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = −3.872 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €50.00, i = 0.06, N = 10
€50.00·(1 − 0.5584)/0.06 + €1 000·0.5584 = €368.00 + €558.39 = €926.40
売却価格
C = €50.00, i = 0.075, N = 9
€50.00·(1 − 0.5216)/0.075 + €1 000·0.5216 = €318.94 + €521.58 = €840.53
保有期間利回り
HPR = (50 + 840.53 − 926.40)/926.40 = −3.872%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.025 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 070 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(5%) = €1 070.92, P(6%) = €1 034.65
YTM = 5.025%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €4 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·12% + 0.5·5%·(1 − 0.28) = 7.8%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.287 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€23.50 = €94 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
ウェイト
V = €132 400 000, E/V = 0.71, D/V = 0.29
WACC
WACC = 0.71·12.1% + 0.29·3%·(1 − 0.2) = 9.287%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 3
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 1 200·(9 − 6) = €3 600
営業利益
Π = 3 600 − 2 400 = €1 200
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 10 000/2 = 5 000
安全余裕率
MS = (9 000 − 5 000)/9 000·100 = 44.44%