データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

  1. A動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
  2. B部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
  3. Cマージソートはすでに O(n) だから
  4. Dマージソートには再帰的な構造がないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(log n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(1)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(n log n)
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.データ構造むずかしい

隣接行列として格納された V 頂点のグラフに対する幅優先探索の実行時間はどれですか。

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
53107951532ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

B · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

C · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: D · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

D · O(log n)
4.データ構造

答え: D · O(V²)

これが答えになる理由

V 個の頂点のそれぞれが V 個の要素の行を走査するので O(V²) になります。隣接リストを使えば BFS は O(V + E) です。

答え

D · O(V²)
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: G

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 8, D: 15, G: 10
3. C (8): E: 15
4. G (10): D: 13, E: 12
5. E (12): F: 21
6. D (13)
7. F (21)

ラウンド 4

G

答え

G

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