データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  2. Bいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
  3. Cいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  4. Dはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

P と NP に関する記述として正しいものはどれですか？

  1. ANP は "not polynomial" を意味する
  2. BP に属するすべての問題は NP にも属する
  3. CP ≠ NP であることが証明されている
  4. DNP の問題は高速に検証できない
3.データ構造ふつう

配列に格納された二分最小ヒープ（インデックスは 0 から）において、インデックス i のノードの子はどこにありますか。

  1. Ai/2 と i/2 + 1
  2. B2i + 1 と 2i + 2
  3. Ci + 1 と i + 2
  4. D2i と 2i + 1
4.データ構造むずかしい

単純一様ハッシュの仮定の下で、n 個のキーと m 個のバケットをもつチェイン法のハッシュテーブルの探索の期待時間はどれですか。

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. Cα = n / m として O(1 + α)
  4. DO(m)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 4 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 34 × deg 42 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
11161214195115ABCDEF

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 EF

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

A · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · P に属するすべての問題は NP にも属する

これが答えになる理由

P ⊆ NP です。問題を高速に解けるなら、解も高速に検証できます。P = NP かどうかは未解決です。

答え

B · P に属するすべての問題は NP にも属する
3.データ構造

答え: B · 2i + 1 と 2i + 2

これが答えになる理由

0 始まりの配列では、左の子は 2i + 1、右の子は 2i + 2、親は ⌊(i − 1)/2⌋ にあります。

答え

B · 2i + 1 と 2i + 2
4.データ構造

答え: C · α = n / m として O(1 + α)

これが答えになる理由

ハッシュの計算は O(1) で、チェインの期待される長さは α なので、サイズ変更によって α を有界に保てば期待 O(1) 時間になります。

答え

C · α = n / m として O(1 + α)
5.グラフ理論

答え: L = 18

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

答え

L = 18

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 DE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. DF (1)
2. DE (5)
3. AB (11)
4. BC (12)
5. BD (14)

辺の番号 2

DE

答え

辺 DE

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