データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列に対するマージソートの再帰は何段階になりますか？

  1. A約 n
  2. B約 log₂ n
  3. C約 n / 2
  4. D約 √n
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
  2. B常に O(V + E) で解ける
  3. C決定不能である
  4. DNP 困難である
3.データ構造ふつう

ダイクストラ法が次に処理する頂点を選ぶために使う抽象データ型はどれですか。

  1. AFIFO キュー
  2. B順序のない集合
  3. Cスタック
  4. D最小優先度付きキュー
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A子で左回転し、次にそのノードで右回転
  2. Bそのノードとその子の色を塗り替える
  3. C平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
  4. D平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 24 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 24
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

C から A への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 約 log₂ n

これが答えになる理由

n から 1 まで半分にしていくには約 log₂ n 段階かかり、各段階で O(n) のマージ作業を行うので、O(n log n) になります。

答え

B · 約 log₂ n
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

D · NP 困難である
3.データ構造

答え: D · 最小優先度付きキュー

これが答えになる理由

最小優先度付きキュー（通常は二分ヒープ）は、未訪問の頂点のうち距離が最小のものを効率よく返します。

答え

D · 最小優先度付きキュー
4.データ構造

答え: C · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

C · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 24 − 17 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

答え

N = 1

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