データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. A解くことが不可能である
  2. BNP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  3. C多項式時間で解ける
  4. D停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. A1
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. Dn（連結リストのようになる）
4.データ構造むずかしい

スプレー木は各アクセスの後に何をしますか。

  1. Aアクセスしたノードを葉に移す
  2. B探索経路上のノードの色を塗り替える
  3. C木全体を平衡な形に作り直す
  4. Dアクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
201861710149ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

B · O(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

B · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: D · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

D · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: D · アクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる

これが答えになる理由

スプレー操作は回転によってアクセスしたノードを根に移します。1 回の操作に O(n) かかることもありますが、ならしコストは O(log n) です。

答え

D · アクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: W = 38

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (1): 取る
EF (4): 取る
BC (6): 取る
BE (9): 取る
DE (10): 飛ばす（閉路ができる）
BD (17): 飛ばす（閉路ができる）
AC (18): 取る

重みの合計

W = 1 + 4 + 6 + 9 + 18 = 38

答え

W = 38

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