データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

単純な再帰の階乗関数 fact(n) = n × fact(n − 1) はどれだけのスタック領域を使いますか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

22n は O(2ⁿ) に属しますか？

  1. Aいいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
  2. Bいいえ。22n は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
  3. Cはい。どちらも指数的だから
  4. Dはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから
3.データ構造ふつう

同じ長さの連結リストを走査するより、配列を走査する方が実際にはずっと速いことが多いのはなぜですか。

  1. A配列では値を比較する命令が少なくて済むから
  2. B配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
  3. C配列の走査は全体で O(1)、連結リストの走査は O(n) だから
  4. D連結リストは常に要素をディスクに格納するから
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A子で左回転し、次にそのノードで右回転
  2. Bそのノードとその子の色を塗り替える
  3. C平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
  4. D平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K4 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K4
H =
6.グラフ理論むずかしい
14291910134ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

どれかが戻る前に再帰は n 段の深さになり、各呼び出しにスタックフレームが必要なので、O(n) の領域を使います。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

これが答えになる理由

指数に定数を加えると定数倍になりますが、指数に定数を掛けると底と増加率が変わります。

答え

A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
3.データ構造

答え: B · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから

これが答えになる理由

連続したメモリは参照の局所性がよい一方、連結されたノードはばらばらに配置されていることがあり、多くのキャッシュミスを引き起こします。

答え

B · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
4.データ構造

答え: C · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

C · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3
6.グラフ理論

答え: W = 28

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (2): 取る
BE (4): 取る
BC (9): 取る
CE (10): 飛ばす（閉路ができる）
DE (13): 取る

重みの合計

W = 2 + 4 + 9 + 13 = 28

答え

W = 28

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