データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n²)
3.データ構造ふつう

二分ヒープをポインタなしで配列に格納できるのはなぜですか。

  1. A完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから
  2. Bヒープのすべてのキーは等しいから
  3. C配列は自動的にキーをソート順に保つので、ポインタが不要になるから
  4. Dヒープは 100 個を超える要素を含むことがないから
4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

  1. A数値に対してのみ答えられる
  2. B偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
  3. C偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
  4. D常に正確な答えを返す
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
15141113671621985ABCDEFG

プリム法は、頂点 D から始めて最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Dk = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 EF
  9. 9辺 GB
  10. 10辺 GD
  11. 11辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

B · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

C · Θ(n³)
3.データ構造

答え: A · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから

これが答えになる理由

完全であることは隙間がないことを意味するので、インデックス i の子は常に 2i + 1 と 2i + 2 にあります。

答え

A · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから
4.データ構造

答え: C · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

C · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
5.グラフ理論

答え: L = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

答え

L = 8

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DE (7)
2. EF (2)
3. GE (5)
4. CE (6)
5. BC (11)
6. AC (14)

辺の番号 4

CE

答え

辺 CE

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