データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

クイックソートの最悪時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

極大マッチングのすべての辺の両端点をとると頂点被覆が得られます。この被覆はどれくらいよいですか？

  1. A最小値の高々 log n 倍
  2. B常に最小頂点被覆
  3. C最適解と比べた品質は不明
  4. D最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍
3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

  1. Aインデックス 6
  2. Bインデックス 4
  3. Cインデックス 0
  4. Dインデックス 3
4.データ構造むずかしい

異なるキーをもつ二分木を常に一意に決定する走査の組はどれですか。

  1. Aレベル順だけ
  2. B行きがけ順と帰りがけ順
  3. C行きがけ順だけ
  4. D行きがけ順と通りがけ順
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
999976118ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n²)

これが答えになる理由

ピボットの選択が常に悪い場合（例：すでにソート済みの入力で先頭要素をピボットにする）、分割が偏り O(n²) になります。平均の場合は O(n log n) です。

答え

A · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍

これが答えになる理由

マッチングの辺は頂点を共有しないので、最適解には辺ごとに少なくとも 1 頂点が必要ですが、この方法は 2 頂点をとります。つまり 2 近似です。

答え

D · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍
3.データ構造

答え: B · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

B · インデックス 4
4.データ構造

答え: D · 行きがけ順と通りがけ順

これが答えになる理由

行きがけ順は根を与え、通りがけ順の系列におけるその位置が左右の部分木を分けます。行きがけ順と帰りがけ順の組は、子が 1 つだけのノードがあるとあいまいになります。

答え

D · 行きがけ順と通りがけ順
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: d(F) = 24

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 9
B (9): C: 18, D: 18, E: 17
E (17): F: 28
C (18)
D (18): F: 24
F (24)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 24

答え

d(F) = 24

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