データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

  1. A2ⁿ は n! より速く増加する
  2. Bn! は 2ⁿ より速く増加する
  3. C同じ速さで増加する
  4. Dn! は O(n²) である
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。行きがけ順の走査はどれですか。

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

  1. Aすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
  2. BB+ 木は平衡を保つ必要がないから
  3. CB+ 木はデータを根にだけ格納するから
  4. DB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
13191271138109ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

D · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · n! は 2ⁿ より速く増加する

これが答えになる理由

n ≥ 4 では n! は 2ⁿ を超え、n! の追加の因数はそれぞれ 2 より大きいので、比は限りなく大きくなります。

答え

B · n! は 2ⁿ より速く増加する
3.データ構造

答え: D · 1 2 4 5 3

これが答えになる理由

行きがけ順では 1、次にその左部分木（2, 4, 5）、次に 3 を訪問します。他の選択肢は通りがけ順、帰りがけ順、レベル順です。

答え

D · 1 2 4 5 3
4.データ構造

答え: A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから

これが答えになる理由

B+ 木では内部ノードは探索を導くだけで、葉はキーの順に連結されているので、範囲クエリは最初のキーを見つけた後、葉に沿って進みます。

答え

A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: W = 52

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (3): 取る
CE (7): 取る
EF (8): 取る
GD (9): 取る
GC (10): 飛ばす（閉路ができる）
DE (11): 飛ばす（閉路ができる）
BD (12): 取る
AB (13): 取る

重みの合計

W = 3 + 7 + 8 + 9 + 12 + 13 = 52

答え

W = 52

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms