データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A常に O(V + E) で解ける
  2. B決定不能である
  3. C重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
  4. DNP 困難である
3.データ構造ふつう

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、負荷率の最大値はいくつですか。

  1. A最大値はない
  2. B2
  3. C1
  4. D0.5
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. Aブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  2. B削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
  3. Cブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
  4. Dそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 14 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 14
k =
6.グラフ理論むずかしい
11121716135ABCDE

プリム法は、頂点 D から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Dk = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

マスター定理により nlog₂ 2 = n が定数の作業量より支配的なので、半分に分割して最大値を求める場合のように T(n) = Θ(n) です。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

D · NP 困難である
3.データ構造

答え: C · 1

これが答えになる理由

オープンアドレス法ではすべてのキーがテーブル自体に格納されるので、n は m を超えられません。チェイン法では負荷率が 1 を超えることがあります。

答え

C · 1
4.データ構造

答え: D · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

D · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: k = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 14 − 9 = 5

答え

k = 5
6.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DE (13)
2. BE (5)
3. AB (1)
4. BC (2)

辺の番号 3

AB

答え

辺 AB

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