データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

  1. A部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
  2. Bループが一つだけ
  3. C重複する部分問題と最適部分構造
  4. Dランダムな入力のみ
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最後の 2 つの値だけを保持するループで n 番目のフィボナッチ数を計算する時間と領域のコストは何ですか？

  1. A時間 O(n)、領域 O(n)
  2. B時間 O(2ⁿ)、領域 O(1)
  3. C時間 O(n)、領域 O(1)
  4. D時間 O(log n)、領域 O(n)
3.データ構造ふつう

あるアプリケーションには高速な検索が必要で、さらにキーをソート順に一覧にしたり、範囲クエリに答えたりする必要もあります。最も適した構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブル
  2. B平衡二分探索木
  3. Cソートされていない連結リスト
  4. Dスタック
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
  2. B開始頂点を選ぶ
  3. C探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  4. D辺を重みの順にソートする
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
311116661215ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 重複する部分問題と最適部分構造

これが答えになる理由

重複する部分問題の結果を保存する（メモ化または表計算）ことで繰り返しの処理を避け、指数時間のアルゴリズムを多項式時間に変えられます。

答え

C · 重複する部分問題と最適部分構造
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 時間 O(n)、領域 O(1)

これが答えになる理由

各ステップに必要なのは直前の 2 つの値だけなので、ボトムアップ法の表を 2 つの変数で置き換えることができます。

答え

C · 時間 O(n)、領域 O(1)
3.データ構造

答え: B · 平衡二分探索木

これが答えになる理由

平衡 BST は O(log n) の検索を提供し、キーを順序づけて保つので、通りがけ順の走査や範囲クエリが容易です。ハッシュテーブルはキーをばらばらに配置します。

答え

B · 平衡二分探索木
4.データ構造

答え: A · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

A · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: d(F) = 15

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 3, C: 11
B (3): D: 9, E: 18
D (9): E: 15, F: 15
C (11)
E (15)
F (15)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 15

答え

d(F) = 15

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