データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) の解はどれですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

一部の辺の重みが負のとき、ダイクストラ法が誤った結果を出すことがあるのはなぜですか？

  1. A負の数は優先度付きキューに格納できないから
  2. B頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから
  3. C負の辺があるたびに無限ループに陥るから
  4. D無向グラフでしか動作しないから
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aヒープ全体を一から作り直す
  2. B配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  3. C根に置き、下へ移動させる（sift down）
  4. Dより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. Aキーをテーブルに格納する必要があること
  2. Bキーの値を読み取る O(n) のコスト
  3. C使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  4. Dハッシュ関数が必要であること
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K4 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K4
H =
6.グラフ理論むずかしい
91913161445320ABCDEFG

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 BC
  3. 3辺 BD
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 GC
  8. 8辺 GD
  9. 9辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

マスター定理（master theorem）により（a = 2, b = 2, f(n) = n）、T(n) = Θ(n log n) です。

答え

A · O(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから

これが答えになる理由

貪欲なステップは、取り出した距離が確定するように重みが非負であることに依存しています。重みが負になりうる場合はベルマン－フォード法を使います。

答え

B · 頂点は取り出された時点で確定するが、後の負の辺によってより短い経路が得られる可能性があるから
3.データ構造

答え: B · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

B · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

C · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3
6.グラフ理論

答え: 辺 GC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AB (9)
2. BD (13)
3. GD (3)
4. DF (4)
5. GC (5)
6. DE (14)

辺の番号 5

GC

答え

辺 GC

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