データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. A1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
  2. B最小全域木を O(E log V) で
  3. Cすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
  4. Dトポロジカル順序を O(V²) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aはい。したがって下界は誤りである
  2. Bいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
  3. Cはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  4. Dいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
3.データ構造ふつう

容量 n の配列に格納された循環キューで、インデックス i の次の位置はどのように計算されますか。

  1. A(i − 1) mod n
  2. B(i + 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.データ構造むずかしい

配列のサイズ k のすべてのウィンドウの最大値を合計 O(n) で計算できる構造はどれですか。

  1. Aずらすことで更新するソート済み配列
  2. Bウィンドウごとに作り直す最小ヒープ
  3. C値の降順にインデックスを保持するデック
  4. Dウィンドウの要素の単方向連結リスト
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
5144511311824ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から C までの最短経路の長さd(C)を求めてください。

始点：A終点：C
d(C) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

C · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

B · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: B · (i + 1) mod n

これが答えになる理由

剰余演算によりインデックス n − 1 は 0 に戻るので、要素をずらさずに配列を再利用できます。

答え

B · (i + 1) mod n
4.データ構造

答え: C · 値の降順にインデックスを保持するデック

これが答えになる理由

デックの先頭は常にウィンドウの最大値です。各インデックスはデックに 1 回入って 1 回出るので、作業量は線形です。

答え

C · 値の降順にインデックスを保持するデック
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

C, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(C) = 9

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 14
B (5): C: 9, D: 10
C (9): E: 20, G: 11
D (10): E: 13, F: 21
G (11)
E (13)
F (21)

最短経路

A → B → C
d(C) = 9

答え

d(C) = 9

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