データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ソート済み配列で、両端から 1 つずつポインタを内側へ動かして、和が目標値になる 2 つの要素を探します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

新しい問題 X が NP 困難であることを示すには、何をしなければなりませんか？

  1. AX を多項式時間で既知の NP 困難な問題に帰着させる
  2. B既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
  3. CX を多項式時間で検証できることを示す
  4. DX には小さな入力に対する多項式アルゴリズムがないことを示す
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

  1. A再平衡化が不要だから
  2. Bデータをソートせずに格納するから
  3. C分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
  4. Dどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
181315108114ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

和が小さすぎれば左のポインタを右へ、大きすぎれば右のポインタを左へ動かすので、ステップは高々 n 回です。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる

これが答えになる理由

既知の困難な問題を効率よく X に変換できれば、X に対する高速なアルゴリズムは既知の問題も解くことになります。

答え

B · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造

答え: A · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

A · O(log n)
4.データ構造

答え: C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

これが答えになる理由

B 木は 1 つのノードに多くのキーを格納するため高さが小さく、1 回の検索に必要なブロック読み込みが少なくて済みます。B+ 木はさらに範囲走査のために葉同士をつなぎます。

答え

C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

B, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: W = 35

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BE (4): 取る
CE (8): 取る
BD (10): 取る
DE (11): 飛ばす（閉路ができる）
AC (13): 取る

重みの合計

W = 4 + 8 + 10 + 13 = 35

答え

W = 35

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