データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

単純な再帰の階乗関数 fact(n) = n × fact(n − 1) はどれだけのスタック領域を使いますか？

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

カラツバ乗算は T(n) = 3T(n/2) + O(n) を満たします。この解は何ですか？

AΘ(n²)
BΘ(n log n)
CΘ(n³)
DΘ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

3.データ構造ふつう

二分ヒープをポインタなしで配列に格納できるのはなぜですか。

Aヒープのすべてのキーは等しいから
Bヒープは 100 個を超える要素を含むことがないから
C完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから
D配列は自動的にキーをソート順に保つので、ポインタが不要になるから

4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

A偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
B常に正確な答えを返す
C偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
D数値に対してのみ答えられる

5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 13 個の頂点と 19 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 13|E| = 19

k =

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

どれかが戻る前に再帰は n 段の深さになり、各呼び出しにスタックフレームが必要なので、O(n) の領域を使います。

答え

D · O(n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

これが答えになる理由

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1 なので、マスター定理により葉が支配的となり、O(n²) の筆算の方法より優れています。

答え

D · Θ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

3.データ構造

答え: C · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから

これが答えになる理由

完全であることは隙間がないことを意味するので、インデックス i の子は常に 2i + 1 と 2i + 2 にあります。

答え

C · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから

4.データ構造

答え: A · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

A · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

13 − 1 = 12

取り除く辺

k = 19 − 12 = 7

答え

k = 7

6.グラフ理論

答え: d(F) = 6

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 2, C: 13

B (2): C: 4, D: 3

D (3): E: 16, F: 6

C (4)

F (6)

E (16)

最短経路

A → B → D → F

d(F) = 6

答え

d(F) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms