データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³ × E)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. A扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
  2. B決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
  3. C決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  4. Dどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
3.データ構造ふつう

2 つのスタックでキューを実装します。「in」スタックに push し、「out」スタックから pop し、「out」が空になったら「in」から補充します。1 回の操作あたりのならしコストはどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.データ構造むずかしい

あるオブジェクトをハッシュマップのキーとして格納した後、そのハッシュ関数で使われるフィールドを変更しました。起こりうる結果はどれですか。

  1. Aオブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある
  2. Bマップが自動的にキーを新しいバケットに移す
  3. Cフィールドが変更された瞬間にマップがエラーを投げる
  4. Dキーのハッシュはプログラムの開始時に 1 回しか計算されないので、何も変わらない
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 43 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
189141013620ABCDEF

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(V × E)

これが答えになる理由

V − 1 回の各ラウンドで E 本すべての辺を緩和するので O(VE) になります。その代わり、負の辺の重みを扱えます。

答え

C · O(V × E)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: A · O(1)

これが答えになる理由

各要素は合計で高々 2 回ずつ push と pop されるので、1 回の補充に O(n) かかることがあっても、操作列全体の平均は O(1) です。

答え

A · O(1)
4.データ構造

答え: A · オブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある

これが答えになる理由

キーの位置は古いハッシュから選ばれました。新しいハッシュでは検索は誤ったバケットを探すので、キーは不変（immutable）であるべきです。

答え

A · オブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある
5.グラフ理論

答え: L = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 14 = 2(L + 5) − 2
L = 6

答え

L = 6

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 AC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AB (1)
2. AC (8)
3. CE (10)
4. DE (13)
5. DF (6)

辺の番号 2

AC

答え

辺 AC

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