データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

  1. A部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
  2. Bマージソートには再帰的な構造がないから
  3. Cマージソートはすでに O(n) だから
  4. D動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. Aどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
  2. B決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
  3. C決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  4. D扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. Aすべてのノードが赤または黒に塗られている
  2. Bすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
  3. C左右の部分木の高さの差が高々 1 である
  4. Dすべての葉がちょうど同じ深さにある
4.データ構造むずかしい

n 要素の二分最小ヒープで任意のキーを探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(log log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
183201315127ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

A · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

ヒープには、どちらの部分木にキーが含まれるかについての規則がないので、最悪の場合すべてのノードを調べなければなりません。すばやく見つけられるのは最小値だけです。

答え

B · O(n)
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

C, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: W = 37

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (3): 取る
BE (7): 取る
DE (12): 取る
BD (13): 飛ばす（閉路ができる）
CE (15): 取る

重みの合計

W = 3 + 7 + 12 + 15 = 37

答え

W = 37

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