データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

クイックソートの最悪時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

  1. A負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
  2. BV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
  3. Cダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
  4. D深さ優先探索で閉路を数える
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

  1. Aすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
  2. BB+ 木は平衡を保つ必要がないから
  3. CB+ 木はデータを根にだけ格納するから
  4. DB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
510720181913ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n²)

これが答えになる理由

ピボットの選択が常に悪い場合（例：すでにソート済みの入力で先頭要素をピボットにする）、分割が偏り O(n²) になります。平均の場合は O(n log n) です。

答え

C · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる

これが答えになる理由

真の最短距離はすべて V − 1 回のラウンド以内に見つかります。それでも改善できる辺があれば、負の閉路が存在するはずです。

答え

B · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

C · O(log n)
4.データ構造

答え: A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから

これが答えになる理由

B+ 木では内部ノードは探索を導くだけで、葉はキーの順に連結されているので、範囲クエリは最初のキーを見つけた後、葉に沿って進みます。

答え

A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: W = 44

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AB (5): 取る
BC (7): 取る
AC (10): 飛ばす（閉路ができる）
BE (13): 取る
CE (18): 飛ばす（閉路ができる）
DE (19): 取る

重みの合計

W = 5 + 7 + 13 + 19 = 44

答え

W = 44

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