データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  2. Bはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
  3. Cはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  4. Dいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

  1. A無向グラフ
  2. B負の重みを持つグラフ
  3. C有向非巡回グラフ（DAG）
  4. D完全グラフ
3.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

  1. A場所を空けるために最も古いキーが削除される
  2. B衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される
  3. Cより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
  4. D既存のキーがその場でソートされる
4.データ構造むずかしい

キー 5, 3, 8, 1 をこの順に、空の配列ベースの二分最小ヒープに挿入します。最終的な配列はどれですか。

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

F を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 有向非巡回グラフ（DAG）

これが答えになる理由

トポロジカル順序が存在するのは、有向グラフに閉路がない場合に限ります。DFS または Kahn のアルゴリズムで O(V + E) で求められます。

答え

C · 有向非巡回グラフ（DAG）
3.データ構造

答え: C · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

これが答えになる理由

インデックスはテーブルのサイズを法として計算されるので、すべてのキーを新しい大きなテーブルに再ハッシュしなければなりません。サイズを 2 倍にすれば、ならしで O(1) のままです。

答え

C · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
4.データ構造

答え: D · [1, 3, 8, 5]

これが答えになる理由

5, 3, 8 の後、配列は [3, 5, 8] です。1 はインデックス 3 に入り、親の 5 と、次に 3 と交換されて [1, 3, 8, 5] になります。

答え

D · [1, 3, 8, 5]
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

共通の隣接頂点

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

答え

N = 1

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